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steigt: • Fall A: Der Behälter hat die Form eines Zylinders. • Fall B: Der Behälter hat die Form eines umgedrehten Kegels. • Fall C: Der Behälter hat die Form einer Kugel. a) Zeichnen Sie für jeden [...] es aber, wenn man den Definitionsbereich einschränken würde. Wir versuchen, das Phänomen zu formalisieren. Zu diesem Zweck sei f : D → R eine Funktion mit dem Definitionsbereich D. Ferner sei I ⊆ D eine [...] 2x2 + 2x1 = (x2 + x1) (x2 − x1)− 2 (x2 − x1) = (x2 + x1 − 2)(x2 − x1) dank der dritten binomischen Formel. • Aus der Annahme x1, x2 ∈ (1,∞) folgt x2 + x1 − 2 > 1 + 1 − 2 = 0; aus der Voraussetzung x1 < x2

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• Übungen zur Analysis

Strecke BC, wenn die Verbindungsgerade von M und N parallel zur Seitenlinie von A und B ist, in formalisierter Form N ∈ BC∧BN ≡ NC ⇔ MN ∥ AB A B C M N Mittelparallele Aufgabe 6 Definition. Zwei Dreiecke ABC

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• Übungen Geometrie

Dr. H. Lorenzen d) Wir betrachten die Formel( 8 3 ) = ( 7 2 ) + ( 6 2 ) + ( 5 2 ) + ( 4 2 ) + ( 3 2 ) + ( 2 2 ) . Geben Sie eine anschauliche Erklärung der Formel und versuchen Sie, das Phänomen allgemeiner [...] nun die Studierenden ein, das Pascal’sche Dreieck zu explorieren, und weitere Beobachtungen zu formulieren und zu erklären. c) Wir betrachten das folgende Phänomen: Die Summe der Zahlen in der Zeile n [...] allgemeiner zu beschreiben. e) Formulieren Sie ein eigenes Phänomen. Aufgabe 5 Diese kurzen Aufgaben dienen dazu, die grundlegenden Zählprinzipien der Kom- binatorik (Additionsregel, Multiplikationsregel

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• Übungen zur Stochastik

ob die Additionstafel der Restklassenmenge Z5 eben- falls ein lateinisches Quadrat ist. (ii) Formulieren Sie eine möglichst allgemeine Bedingung an eine natürli- che Zahl n ∈ N≥2, die garantiert, dass [...] Restklassenmenge {[1], [2], [3], [4], [5], [6]} ⊆ Z7 ebenfalls ein lateinisches Quadrat ist. (ii) Formulieren Sie eine möglichst allgemeine Bedingung an eine natürliche Zahl n ∈ N, die garantiert, dass die [...] ihre Didaktik Lorenzen/Lampe Dies führt uns zur Kennzeichnung a b ∼ c d :⇔ a · d = b · c Brüche der Form a b mit a, b ∈ N bestehen aus einem Zähler a und einem Nenner b. Zwei Brüche a b , c d mit a, b

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• Übungen zur Analysis

aufzustellen. Schließlich hatten wir mit Hilfe der Produktregel den folgenden Satz mit Erweite- rung formuliert: Satz 0.1. Wenn n eine positive ganze Zahl und r eine ganze Zahl mit 1 ≤ r ≤ n ist, dann gibt es [...] mit 1 ≤ r ≤ n ist, dann gilt P (n, r) = n! (n− r)! . So, jetzt lassen Sie uns einige Aufgaben formulieren. a) Man modelliere beide Sachsituationen von oben mit Mengen (analog unserem Beispiel aus der Vorlesung

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• Übungen zur Stochastik

die Situation mit einem Satz und stellen Sie eine passende Ungleichung auf. Wir möchten nun eine formale Definition der Größenvergleichsrelation geben. Zu diesem Zwecke definieren wir, dass zwei natürliche [...] Hockeymannschaft n = 1 Elefant fehlt, um die gleiche Mannschaftsstärke wie das Fußballteam zu haben. In Formeln können wir die größer-Relation auch schreiben als: > = {(x, y) | ∃n ∈ N : x = y + n} . b) Vera [...] (In einer Gleichung könnten wir diese Beziehung auch als < ∪ > ≠= schreiben, aber bei solchen Formeln müssen aufpassen, dass wir unsere Leserinnen und Leser nicht verwirren.) Auf der anderen Seite gilt

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• Übungen zur Analysis

e Türme der Form Oleg aus einem 4× 2- und einem 2× 2-Stein bauen kann, wenn er nur die Farben rot, orange und gelb zur Verfügung hat. (ii) Man skizziere alle möglichen Türme der Form , die Oleg aus [...] Weiterhin betrachten wir auf der Menge B die Relation R = {(b1, b2) ∈ B ×B | f(b1) = f(b2)} . (ii) Man formuliere in Worten, was die Relation b1R b2 für zwei Lego-Steine b1, b2 ∈ B bedeutet. (iii) Man überprüfe

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• Übungen zur Stochastik

gerade ist. • Auf der anderen Seite ist (1, 2) /∈ R, da 9 · 1− 3 · 2 = 9− 6 = 3 ungerade ist. In Formeln schreiben wir die beiden Aussagen als 7R5 und ¬(1R2). a) Man überprüfe die Aussage 6R5. b) Man

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• Übungen zur Analysis

die Minutenzahl auf seiner Uhr, also durch die Zahlen 0, 1, 2, . . . , 59. b) (i) Beschreiben Sie formal die Grundmenge dieses Zufallsexperimentes: Ω = {x | x ∈ N0 und }. (ii) Geben Sie ihre Mächtigkeit [...] mir aber nicht gemerkt, mit welcher Linie ich gefahren bin.“ Wir möchten wissen, ob diese neue Information Einfluss auf die Frage hat, wel- che Linie Bjarne heute bekommen hat. Zu diesem Zweck beschreiben [...] Klausur beginnen die Studierenden X. und Y. zu lernen. In der kurzen Zeit können sie sich aber die Abzählformeln für die Zählprinzipien nicht merken. Also schleichen sie in die Uni und verstecken unter einigen

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• Übungen zur Stochastik

Aufgabe 1 In dieser Aufgabe möchten wir quadratische Gleichungen lösen. a) In ihrer einfachsten Form ist eine quadratische Gleichung von der Art x2 = 25. (1) Die Lösungsmenge der Gleichung (1) besteht [...] die Zahl 32 ergänzen. Die mathematische Grundlage für diesen Schritt ist die zweite binomische Formel a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2. Setzen wir a = x, so müssen wir b = 3 halb so groß wie 6 wählen, damit

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• Übungen zur Analysis