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could assist each other in their manifold information needs, and might be a window of advertisement for potential SESAM students, giving them first hand information before they come to Germany. • Actual SESAM [...] could assist each other in their manifold information needs, and might be a window of advertisement for potential SESAM students, giving them first hand information before they come to Germany. Actual SESAM [...] A possible and effective form of short-term substitution for traditional fuels and technologies that is suitable for rural household cooking and lighting is biogas obtained form agri-residue, human, and

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• African Alumni Workshop May 2008

nun die angekündigten Aufgaben, wobei Begründungen jeweils zu doku- mentieren sind, z.B. in der Form . . . = wegen (G1) in (R,+) . . . Aufgabe 1 Man beweise: a) Die neutralen Elemente in (R,+) und (R∗·)

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• Übungen zur Analysis

eine Ziffer der Zahl 2 ist. c) Man modelliere die Glücksradsituation durch ein passenden Modell, forma- lisiere darin die beiden Ereignisse (i) und (ii), und bestätige im Modell die Ergebnisse aus der

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• Übungen zur Stochastik

c) Untersuchen Sie, ob sich dieser Zusammenhang auch bei anderen Folgenglie- dern ergibt und formulieren Sie eine Verallgemeinerung. d) Entwickeln Sie zunächst einen konkreten Term, der zur folgenden [...] ist also ein Maß für die Symmetrie einer Figur. Ein gleichseitiges Dreieck hat sechs Symmetrietransformationen, nämlich die Dre- hungen um 120◦ bzw. 240◦ (gegen den Uhrzeigersinn) um den Mittelpunkt [...] Identität, die wir als Drehung um 0◦ auffassen können. Ein Quadrat dagegen besitzt acht Symmetrietransformationen, nämlich vier Dre- hungen und vier Achsenspiegelungen. Man beachte, dass die Punktspiegelung

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• Übungen zur Analysis

enthält noch genau zwei weitere Teammitglieder. Folglich ist |E| = C(7, 2) = ( 7 2 ) . Nach der Formel von Laplace ist die Wahrscheinlichkeit, dass Skye und Everest beide der Mission zugeteilt werden [...] irgendwie für . . . beschreiben, wie wir das Ziehen der zwei Asse und einer beliebige Karte aus K formalisieren. Was halten Sie von A ⊂ K? Wir spüren, Sie sind einverstanden. Denn unsere Menge T waren alle

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• Übungen zur Stochastik

Studierenden eingeladen, Symmetrietransformationen zu finden. d) Geben Sie alle Symmetrietransformationen des zweifarbigen Sechsecks an. Beschreiben Sie, was die Transformationen geometrisch bewirken. A [...] en, die durch Symmetrietransformationen entste- hen. Zum Beispiel sei ABCD ein Quadrat mit zwei grünen Ecken A und C und zwei blauen Ecken B und D. D A B C Eine Symmetrietransformation ist nun eine Funktion [...] und f1(D) = D ist eine Symmetrietransformation. Sie ist die identische Abbildung. • Die Funktion f2 mit f2(A) = A, f2(B) = D, f2(C) = C und f2(D) = B ist eine Symmetrietransformation. Sie beschreibt eine

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• Übungen zur Analysis

, denn hier gilt die berühmte Laplace-Formel (warum?): • P (T ) = |T | |Ω| , wobei man die Elemente aus T auch als günstige Fälle be- zeichnet und die Laplace-Formel als die Wahrscheinlichkeit der Anzahl [...] zählen wollen, ist die Laplacefunktion oft eine gute Wahl. e) Definieren Sie die Laplacefunktion formal: Sei P eine Funktion, die jedem Ereignis A P (A) = zuordnet. f) Erklären Sie kurz, warum diese Wahl [...] Lorenzen/Lampe Jetzt haben wir alles Nötige definiert und können die Wahrscheinlichkeiten ganz formal innermathematisch, also ohne Argumente aus der Interpretation in die Rechnung einfließen zu lassen

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• Übungen zur Stochastik

spiegelt, dann sollte auch {7, 8, 9}σ{1,5,9} zu {2, 5, 8}σ{1,5,9} senkrecht sein). Aufgabe 2 Man formalisiere die folgende Aussage und beweise sie anschließend: Jede Geradenspiegelung σ ist senkrecht-treu

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• Übungen Geometrie

drei Parameter a, b, c auf die Form und Lage der Funktion. Betrachten Sie nun den sogenannten Scheitelpunkt S der Funktion. Ist eine qua- dratischen Funktionen in der Form f(x) = a · (x + d)2 + e (natürlich [...] Scheitelpunkt ablesen, müssen einige Transformationen vorgenommen werden, Stichwort Quadratische Ergänzung. Zeigen Sie: d) Ist eine quadratische Funktion der Form f(x) = a · x2 + b · x + c gegeben, dann [...] wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. k) Formulieren Sie eine anschauliche Definition, eine Gleichungslöser-Definition und eine formale Definition der Bijektivität der Funktion f . Illustrieren

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• Übungen zur Analysis

rechteckige Anordnung von Zahlen mit m Zeilen und n Spalten. In dieser Aufgabe möchten wir die Formeln der Kombinato- rik, die wir in den letzten Wochen kennengelernt haben, verwenden, um Matrizen zu [...] 21 · 35 = 735. Wir laden nun die Studierenden ein, die folgenden Aufgaben mit Hilfe der erlernten Formeln anhand passender Modelle zu lösen. a) Man berechne die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten,

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• Übungen zur Stochastik