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haben. e) Es sei M ⊆ {1, 2, . . . , 100} der Teilmenge der Mächtigkeit |M | = 51. Man beweise, dass es zwei verschiedene Elemente a, b ∈ M geben muss, für die a | b gilt. Aufgabe 5 Seien m,n ∈ N. Das allgemeine [...] Methode an einer Beispielaufgabe: Es sei M ⊆ {1, 2, . . . , 20} eine Teilmenge der Mächtigkeit |M | = 11. Man beweise, dass es dann zwei teilerfremde Elemente a, b ∈ M geben muss. Abgabe der Bearbeitungen [...] Schubladen, dabei kommt jedes Element m ∈ M in die passende Schublade mit dem Label S mitm ∈ S. Nach dem Schubfachprinzip muss es eine Schublade geben, in der zwei Elemente aus M liegen. Hat die Schublade die

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• Übungen zur Stochastik

Ferner seien R ⊆ M ×M und S ⊆ M ×M zwei Relationen auf M . Dann erhalten wir zwei neue Relationen auf M , einerseits die Vereinigung R ∪ S = {(m1,m2) ∈ M ×M | (m1,m2) ∈ R oder (m1,m2) ∈ S} Abgabe bis [...] s den Durchschnitt R ∩ S = {(m1,m2) ∈ M ×M | (m1,m2) ∈ R und (m1,m2) ∈ S} . Beispiel: Es sei M = {1, 2, 3}, es sei R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} die kleiner-Relation auf M und es sei S = {(2, 1), (3, 1) [...] verwirren.) Auf der anderen Seite gilt R∩S = ∅, denn es gibt keine Zahlen m1,m2 ∈ M , für die sowohl m1 < m2 als auch m1 > m2 gültig sind. a) In dieser Teilaufgabe betrachten wir die Menge der Wörter W der

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• Übungen zur Analysis

eine Menge A gilt A3 := A× A× A e) E = {(x1, x2, x3) ∈ {1, 2, 3, 4, 5}3 | x1 < x2 < x3} f) F = {(A,B) ∈ P({1, 2, 3})× P({1, 2, 3}) | A ∩B = ∅, A ∪B = {1, 2, 3}} Aufgabe 5 Definition. Sei M eine Menge der [...] Seien A,B,C Mengen, wobei A ̸= ∅ ist. Dann gilt A×B = A× C ⇒ B = C. Begründung. Es gelte A×B = A×C. Nun verwenden wir eine aus der Schule bekannte Regel für reelle Zahlen a, b, c, nämlich: Aus a · b = [...] = a · c und a ̸= 0 folgt nach Division durch a a · b a = a · c a und damit die Gleichheit b = c. Nun wenden wir diese Regel auf die obige Situation an. Da nun ebenfalls A ̸= ∅ ist, folgt also entsprechend

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• Übungen zur Stochastik

Relation R auf einer Menge M heit antisymmetrisch, wenn gilt ∀a, b ∈ M : (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b, oder wieder in der üblichen Schreibkonvention ∀a, b ∈ M : aRb ∧ bRa ⇒ a = b. a) Ignor Mynus argumentiert: [...] n: A B CD E a) Stellen Sie die im obigen Bild dargestellte Relation als Menge geordneter Paare dar. b) Stellen Sie die in der Paarschreibweise durch {(A,B), (B,C), (C,A), (C,D), (D,D), (E,A), (A,E), (E [...] antisymmetrisch auf Z, denn für alle ganzen Zahlen a, b folgt aus a | b und b | a stets a = b Hat Ignors Argumentation eine Lücke? b) Man gebe auf der Menge A := {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 100} eine (nichtleere) an

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• Übungen zur Analysis

vier Mengen an: |A| = |A ∩B| = |B| = |A ∪B| = (ii) Beweisen Sie anhand des Modells die Gleichung (1) sowie die Gleichung |A ∩B| · |A ∪B| = |A| · |B| − ∣∣A∣∣ · ∣∣B∣∣ ; (2) hierbei bezeichne A die Menge aller [...] bereits: Seien A,B zwei endliche Mengen, dann gilt |A×B| = |A| · |B|. Wir geben ein Beispiel für die Anwendung des Prinzips. Wir wollen ein Kennzeichen bilden: • Zuerst einen Buchstaben: M = {A,B,C} (3 Wa [...] Kennzeichen ist das kartesische Produkt: M × Z = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (B, 1), (B, 2), (B, 3), (B, 4), (C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4)}. Es gibt also 12 mögliche Kennzeichen. Abgabe der Bearbeitungen

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• Übungen zur Stochastik

Ferner sei a das Lot von A auf AC und b das Lot von B auf BC. Weiterhin sei a′ die Parallele zu a durch C und b′ die Parallele zu b durch C. Wir betrachten die Punkte R ∈ a ∩ b′, S ∈ a′ ∩ b und T ∈ a ∩ b. Man [...] AD und M der Mittelpunkt von SC. Man zeige: Die Geraden DM , BC schneiden sich im 2 : 1-Teilungspunkt von BC. Aufgabe 3 Man zeige, dass es zu jedem Kreis k um M und jedem Punkt A mit A ̸= M und A ̸∈ k [...] von k durch A gibt. Aufgabe 4 Sei ABC ein echtes Dreieck und M der Mittelpunkt von AB Sei w eine Winkel- halbierende bei A, die das Mittellot von A und B im Punkt D ∈ BC schneidet. Zeige: (a) Wenn Mσw =

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• Übungen Geometrie

Winkelhalbierende von ABC bei A und m das Mittellot von BC. Man zeige ohne Verwendung des Umkreis-Winkelhalbierenden-Satzes (den wer- den wir am Montag in der Vorlesung behandeln): m, w schneiden sich auf dem [...] Diagonalensatz CB ≡ AE (11.) insgesamt hat man paarweise verschiedene Punkte E, A, D, die allesamt auf einer Geraden, nämlich h, liegen (12.) sei ABC ein echtes Dreieck (13.) also ist A der Mittelpunkt der [...] Thaleskreis von ABC. Aufgabe 3 Sei ABC ein echtes Dreieck und M der Mittelpunkt von AC und X ∈ MB. Man betrachte den Schnittpunkt Y von AX mit BC. a) Man zeichne die Figur mit GeoGebra und variiere die Lage

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• Übungen Geometrie

die folgenden fünf Terme: A1(a, c, h) = 1 2 ((a+ c) · h) A2(a, c, h) = ( 1 2 (a · h) + 1 2 (c · h) ) A3(a, c, h) = ( a+ c 2 ) · h A4(a, c, h) = ( h 2 ) · (a+ c) A5(m,h) = m · h (1) Es folgen nun eine [...] ✓ 1 0 0 0 1 1 110 20 ◆ ; die Lösungsmenge ist8 < : 0 @ 110 20 + f f 1 A | 0 f 90 9 = ; = 8 < : 0 @ 110 20 0 1 A + f 0 @ 0 1 1 1 A | 0 f 90 9 = ; ; der Tisch muss 110 cm hoch sein. 5 f) Die Quadratzahlen [...] eines Trapezes könnte so aussehen. Wir führen nun die Bezeichnungen a, c, h,m für vier Längen durch das folgende Bild ein, wobei nur m als die sogenannte Mittellinie des Trapezes vielleicht unge- wohnt

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• Übungen zur Analysis

Wode (1993:170 ff.) und Apeltauer (2007a:30 f.) Syntax Satzmuster bei Clahsen/Meisel/Pienemann (1983), Diehl (2000:110), Haberzettl (2005:122 ff.), Apeltauer (2007a:59 ff.) Wortbildung: Komposition und [...] Die sprachliche Komplexität wird u. a. durch das Tilgen von Wörtern oder Phrasenteilen reduziert. Zudem finden vereinfachende Substitutionen statt (vgl. Apeltauer 2008a:18). Insbesondere beim Nachsprechen [...] 1934/1993:236 f.). In der Zweitspracherwerbsforschung weist Apeltauer (2008a:38) darauf hin, dass die Zone der nächsten Entwicklung u. a. im Zusammenhang mit dem Nach- sprechen bestimmt werden kann. Es zeigt

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• Apeltauer (verstorben), Ernst (Prof. Dr.)

Leistung. München 1954. TAL 214 J. Becker (u.a.), Die Anfänge des Christentums. Alte Welt und neue Hoffnung, Stuttgart (u.a.) 1987. TAL 214 M. Becker (u.a.), Ichstedt. Untersuchungen zu einem Gräberfeld [...] Dostálová, Il romanzo greco e i papiri (= Studie a Texty Bd. 5), Praha 1991. TAL 214 A. E. Douglas, M. Tulli Ciceronis Brutus, Oxford 1966. TAL 214 W. Drack (u.a.), Römische Wandmalerei aus der Schweiz, Feldmeilen [...] Beiheft Bd. 30), Stuttgart 1998. M. Gelzer, (u.a.), M. Tullius Cicero. Sonderdruck aus Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft, Stuttgart o. J. TAL 214 M. Gelzer, Caesar. Der Politiker

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• Seminarbibliothek