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Nenner a · d+ c · b b · d = c · b+ a · d d · b Mit Hilfe der Definition (D1) folgt jetzt c · b+ a · d d · b = c d + a b c) Beweisen Sie analog: • Es gilt a b · c d = c d · a b • Es gilt (a b + c d ) + e f [...] N× N ist. • ∼ ist reflexiv, d.h. ∀a, b ∈ N : . . . . . . . . . . . . • ∼ ist symmetrisch, d.h. ∀a, b, c, d ∈ N : . . . . . . . . . . . . • ∼ ist transitiv, d.h. ∀a, b, c, d, e, f ∈ N : . . . . . . . . [...] schreiben. Seien dazu a, b, c, d natürliche Zahlen. Dann definieren wir eine Addition (D1) a b + c d := a · d+ c · b b · d , und eine Multiplikation (D2) a b · c d := a · c b · d . In der Vorlesung werden

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• Übungen zur Analysis

ion an, die die 2-Permutation P (6, 2) einer 6-elementigen Menge beschreibt. d) Man zeige die Gültigkeit von Satz 0.2 d.h. P (n, r) = n · (n− 1) · (n− 2) · . . . · (n− r + 1) = n! (n− r)! Es folgen jetzt [...] besagt nun, dass die vier Gegenstände nicht alle in unterschiedlichen Schubladen landen können, d.h. in mindestens einer Schublade müssen, egal wie Pia die Spielsachen platziert, mindestens zwei der [...] en. Es ist stets eine Modellierung anzugeben. e) Anton tippt wahllos die acht Buchstaben A,B,C,D,E, F,G,H in seine Tas- tatur, z.B. HEABCDFG. Man bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, sodass die Buc

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• Übungen zur Stochastik

Relation B3 auf T × T , nämlich B3 := {((a, b), (c, d)) | a, b, c, d ∈ T, a · d = b · c} Wir können dafür auch kurz schreiben (a, b) B3 (c, d) :⇔ a · d = b · c. Abgabe bis Freitag, den 28.03.2025, um 10 [...] Beispiel ist die Anzahl der Elefanten, die Fußball spielen, d. h. die Zahl x = 6, größer als die Zahl der Elefanten, die Hockey spielen, d. h. die Zahl y = 5, da der Hockeymannschaft n = 1 Elefant fehlt [...] (c, d)) | a, b, c, d ∈ T, a+ b = c+ d}, Abgabe bis Freitag, den 28.03.2025, um 10 Uhr Europa-Universität Flensburg – FrSe 2025 Analysis I und ihre Didaktik Lorenzen/Lampe oder kurz (a, b) B1 (c, d) :⇔

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• Übungen zur Analysis

+W + T +B) · (L+H +O2 + S2 +O3) Abgabe der Bearbeitungen bis Freitag, den 3. Oktober 2025, bis 10 Uhr Europa-Universität Flensburg - HeSe 25/26 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe [...] Flensburg - HeSe 25/26 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 4 Man gebe zu jeder der 6 angegebenen Mengen A,B,C,D,E, F jeweils zwei ver- schiedene Elemente an. Dann bestimmen man [...] 3} ein Element der Menge A. b) B = {Y ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} | |Y | = 2}} c) C = {1, 2, 3} × {4, 5, 6} d) D = {(x1, x2, x3) ∈ {1, 2, 3} × {1, 2, 3} × {1, 2, 3} | x1 ≤ x2 ≤ x3} Erinnerung: Für eine Menge A

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• Übungen zur Stochastik

dass die Relation R symmetrisch ist, d.h. für alle ganzen Zahlen x, y ∈ Z die Aussage (xRy) ⇒ (yRx) wahr ist. d) Man zeige, dass die Relation R transitiv ist, d.h. für alle ganzen Zahlen x, y, z ∈ Z [...] (C,A), (C,D), (D,D), (E,A), (A,E), (E,E), (A,E)} gegebene Relation in einem Pfeilbild dar. c) Wie kann man an einem Pfeilbild erkennen, ob die dadurch dargestellte Re- lation reflexiv ist? d) Wie lässt [...] ei- ne Relation H als ” ist höher als“. (i) Man beurteile die Aussage: ” Kleine Meerjungfrau H Big Ben.“ (ii) Man untersuche, ob die Relation R reflexiv, symmetrisch bzw. transitiv ist. h) Auf der Menge

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• Übungen zur Analysis

Europa-Universität Flensburg - HeSe 25/26 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 2 Am kommenden Mittwoch (zukünftig in OSL 243) besprechen wir erneut das Multiplikationsprinzip, [...] 2025, bis 10 Uhr Europa-Universität Flensburg - HeSe 25/26 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 1 Begeistert von der Stochastik-Vorlesung beschließen Sie, in Ihrer Mathe-AG für [...] 2025, bis 10 Uhr Europa-Universität Flensburg - HeSe 25/26 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 2 In einem Freizeitpark gibt es ein Mittagsangebot. Jede Besucherin und jeder Be-

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• Übungen zur Stochastik

können wir sehr gut den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,P ) bzw. das Experiment durch Mengen modellieren, d.h. Ω sollte das Ziehen zweier Kugeln beschreiben; wir wählen also Ω := {T | T ⊆ R ∪ . . . , |. . . | [...] E unter der Voraussetzung B eintritt, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(E) = P (E ∩B) P (B) . d) Zeigen Sie durch eine kurze Rechnung, dass nicht nur in diesem ameisen- artigen, sondern in jedem [...] wenn PY (X) = P (X) gilt. g) Beurteilen Sie, ob die Ereignisse E und B stochastisch unabhängig sind. h) Beschreiben Sie die Ereignisse X und Y als Teilmengen von Ω, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten

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• Übungen zur Stochastik

· (a− b) mit a, b ∈ R. c) Begründen Sie diese Formel syntaktisch, d.h. durch eine algebraische Umfor- mung in einer Gleichungskette. d) Geben Sie für diese Formel auch eine Visualisierung an. Abgabe bis [...] Minuten. Wie lange dauert es, den Tank zu füllen, wenn man alle drei Rohre gleichzeitig öffnet?“ d) Eine Tomographie mit sieben Röntgenstrahlen führt auf ein System von Glei- chungen. Finden Sie die [...] hätte. g) Man beweise, dass die Zahl n4 − 40n2 + 4 ∈ Z für keine ganze Zahl n ∈ Z eine Primzahl ist. h) Um eine Temperatur von Celsius in Fahrenheit umzuwandeln, können wir die Formel f = 9 5 · c+32 nehmen

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• Übungen zur Analysis

Höhenlinien in einem Punkt (3.) also gilt hA = D ⊕ E, hB = E ⊕ F und hC = F ⊕D (4.) seien D ∈ g ∩ h, E ∈ h ∩ i und F ∈ gcapi die jeweiligen Schnittpunkte (5.) sei h die Parallele durch A zur Geraden durch [...] durch B und C (6.) da ABC echt ist, schneiden sich g und h, h und i bzw. g und i (7.) da h ∥ CB und A,D ∈ h und g ∥ AB und C,D ∈ g gilt, folgt ABCD ist ein Parallelogramm (8.) da sich nach einem Satz aus der [...] (14.) sei g die Parallele durch C zur Geraden durch A und B (15.) also sind die drei Höhenlinien hA, hB , hC die drei Mittelsenkrechten von DE, EF und FD (16.) vollkommen analog erhält man, dass auch B

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• Übungen Geometrie

folgenden fünf Terme: A1(a, c, h) = 1 2 ((a+ c) · h) A2(a, c, h) = ( 1 2 (a · h) + 1 2 (c · h) ) A3(a, c, h) = ( a+ c 2 ) · h A4(a, c, h) = ( h 2 ) · (a+ c) A5(m,h) = m · h (1) Es folgen nun eine GeoGebra [...] ionen der Flächeninhaltsformel eines Dreiecks A(g, h) = 1 2 · (g · h) = g 2 · h = h 2 · g mit einer Seitenlänge g und zugehöriger Höhenlänge h, welches wir am Montag besprechen werden. Statt eines [...] von denen 38 Randteile sind (wobei wir Eckteile zum Rand zählen). Welches Format hat das Puzzle? d) Wir betrachten zwei Würfel. Die Kantenlänge des ersten Würfels ist 45 cm länger als die Kantenlänge

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• Übungen zur Analysis