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Beseitigung von ∧ und ∨. Es seien A und B zwei Aussagen. a) Man zeige anhand einer Wahrheitstafel, dass die Aussage A∨B logisch gleich- wertig zur Aussage ¬A ⇒ B ist. A B ¬A ¬A ⇒ B A ∨B w w w f f w f f Abgabe [...] dass die Aussage A∧B logisch gleich- wertig zur Aussage ¬(A ⇒ ¬B) ist. A B ¬B A ⇒ ¬B ¬(A ⇒ ¬B) A ∧B w w w f f w f f c) Man leite eine Formel her, die logisch gleichwertig zu der Aussage A ⇔ B ist und als [...] meistens A,B,C, . . . , P,Q,R, . . . Seien A und B Aussagen. Mit sogenannten Junktoren können wir nun Aussagen verbinden. Wir haben nun diese Junktoren durch eine Wahrheitstafel definiert: A B ¬A A∧B A∨B A⇒B

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• Übungen zur Algebra

25/26 Algebra I und ihre Didaktik Lorenzen/Lampe O K + K O WOW D U + L U C A S S C H A R − L O T T 2 0 1 1 M O R D + R A U B K R I M I Aufgabe 4 Man berechne die folgenden Aufgaben durch ein schriftliches [...] 14 15 16 . . . 6er-System 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21 22 23 23 . . . Das 6er System tritt u.a. in der Natur auf, beispielsweise sind die Blütenanzahl einiger Planzen ein Vielfaches der Zahl 6 oder [...] Sie nun die folgenden vier Multiplikationsaufgaben schriftlich im obigen Sinn (hier auf dem Zettel). a) 542 · 3 Z Z Z Z Z + Z Z Z Z Z + Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z b) 431 · 13 Z Z Z Z Z + Z Z Z Z Z + Z Z Z Z Z +

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• Übungen zur Algebra

Behauptung. Für alle natürlichen Zahlen n,m mit n > m gilt: (∗) 3 | n+m oder 3 | n−m oder 3 | n ·m Beweis. Seien n,m ∈ N zwei natürliche Zahlen mit n > m. (Damit sind die Variablen eingeführt, auch [...] Algebra I und ihre Didaktik Lampe/Lorenzen a) Wir wollen folgende Aussage beweisen: Für alle natürlichen Zahlen n,m mit n > m gilt: 3 | n+m oder 3 | n−m oder 3 | n ·m Wir erkennen einen Allquantor und eine [...] nd Vielfachsummenmenge von a, b nen- nen und mit V (a, b) bezeichnen. Die Elemente von V (a, b) wollen wir kurz eine (mögliche) Vielfachsumme von a, b. nennen. Nehmen wir a = 3 und b = 4 so konkretisiert

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• Übungen zur Algebra

Gleichung (2) durch a teilbar ist, ist die rechte Seite □ · a +△ · b auch durch a teilbar; wegen a | □ · a folgt mit dem Summensatz a | △ · b; da a und b teilerfremd sind, folgt a | △. • Aus n ≥ 0 folgt [...] Zahlen a, b ∈ N kennengelernt; sie ist definiert als V (a, b) = {m · a+ n · b | m,n ∈ N0} ⊆ N0. Die Vielfachsummenmenge ist eine Verallgemeinerung der Vielfachmenge V (a) ei- ner natürlichen Zahl a ∈ N. [...] entsteht. Satz: ∀a, b ∈ N : (ggT(a, b) = 1) ⇒ (ab− a− b ̸∈ V (a, b)). Begründung: • Es seien a, b ∈ N zwei beliebige natürliche Zahlen. • Angenommen, a und b seien teilerfremd, d.h. es gelte ggT(a, b) = 1. •

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• Übungen zur Algebra

von b. a) Formalisieren Sie alle drei Aussagen. (i) a+ b = 324 2 Punkte (ii) ggT (a, b) = 36 2 Punkte (iii) b < a ≤ 2 · b 2 Punkte b) Bestimmen Sie die Menge L ⊆ M mit L := {(a, b) | (a, b) ∈ M mit (i) [...] Sie alle passenden Zahlen! Sei M := {(a, b) | (a, b) ∈ N× N}. Es gelte: • Die Summe von a und b beträgt 324. • Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist 36. • Die Zahl a ist größer als die Zahl b, aber [...] 4 = 7 und 3 · 4 + 1 = 13 teilerfremd sind. a) Man überprüfe, ob das Paar (2, 6) befreundet ist. b) Man gebe die Menge A = {(m,n) | (m,n) befreundet und 6 ≤ m ≤ 8 und 6 ≤ n ≤ 8} als Auflistung ihrer Elemente

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• Übungen zur Algebra

Seien a, b zwei verschiedene natürliche Zahlen. a) Man gebe zwei verschiedene Paare (a1, b1), (a2, b2) ∈ N×N an mit ggT (a1, b1) = ggT (a2, b2) = 6. b) Man gebe zwei verschiedene Paare (a1, b1), (a2, b2) [...] Wir definie- ren für jede Menge M ⊆ {1, 2, 3, ..., 19, 20} die Menge Mitte(M) = {x ∈ M | ∃y, z ∈ M : y < x < z} Also ist Mitte(M) die Menge, die entsteht, wenn man aus M das größte und das kleinste Element [...] Element herausnimmt. Weiter definieren wir für jede Menge M ⊆ {1, 2, 3, ..., 19, 20} die Menge Rand(M) = M \Mitte(M) a) Geben Sie an: Mitte({1, 2, 3, 4, 5}) = b) Geben Sie an: Mitte({11, 2, 3, 19, 4, 5

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• Übungen zur Algebra

vier Mengen an: |A| = |A ∩B| = |B| = |A ∪B| = (ii) Beweisen Sie anhand des Modells die Gleichung (1) sowie die Gleichung |A ∩B| · |A ∪B| = |A| · |B| − ∣∣A∣∣ · ∣∣B∣∣ ; (2) hierbei bezeichne A die Menge aller [...] bereits: Seien A,B zwei endliche Mengen, dann gilt |A×B| = |A| · |B|. Wir geben ein Beispiel für die Anwendung des Prinzips. Wir wollen ein Kennzeichen bilden: • Zuerst einen Buchstaben: M = {A,B,C} (3 Wa [...] Kennzeichen ist das kartesische Produkt: M × Z = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (B, 1), (B, 2), (B, 3), (B, 4), (C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4)}. Es gibt also 12 mögliche Kennzeichen. Abgabe der Bearbeitungen

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• Übungen zur Stochastik

eine Menge A gilt A3 := A× A× A e) E = {(x1, x2, x3) ∈ {1, 2, 3, 4, 5}3 | x1 < x2 < x3} f) F = {(A,B) ∈ P({1, 2, 3})× P({1, 2, 3}) | A ∩B = ∅, A ∪B = {1, 2, 3}} Aufgabe 5 Definition. Sei M eine Menge der [...] Seien A,B,C Mengen, wobei A ̸= ∅ ist. Dann gilt A×B = A× C ⇒ B = C. Begründung. Es gelte A×B = A×C. Nun verwenden wir eine aus der Schule bekannte Regel für reelle Zahlen a, b, c, nämlich: Aus a · b = [...] = a · c und a ̸= 0 folgt nach Division durch a a · b a = a · c a und damit die Gleichheit b = c. Nun wenden wir diese Regel auf die obige Situation an. Da nun ebenfalls A ̸= ∅ ist, folgt also entsprechend

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• Übungen zur Stochastik

haben. e) Es sei M ⊆ {1, 2, . . . , 100} der Teilmenge der Mächtigkeit |M | = 51. Man beweise, dass es zwei verschiedene Elemente a, b ∈ M geben muss, für die a | b gilt. Aufgabe 5 Seien m,n ∈ N. Das allgemeine [...] Methode an einer Beispielaufgabe: Es sei M ⊆ {1, 2, . . . , 20} eine Teilmenge der Mächtigkeit |M | = 11. Man beweise, dass es dann zwei teilerfremde Elemente a, b ∈ M geben muss. Abgabe der Bearbeitungen [...] Schubladen, dabei kommt jedes Element m ∈ M in die passende Schublade mit dem Label S mitm ∈ S. Nach dem Schubfachprinzip muss es eine Schublade geben, in der zwei Elemente aus M liegen. Hat die Schublade die

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• Übungen zur Stochastik

Anzahl der folgenden Teilmenge T von M T = {(X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7) | Xi = Xj, 1 ≤ i, j ≤ 7}. Was beschreibt die Menge? c) Offenbar ist das 7-Tupel (A,B,B,A, L,A,O) ∈ M . Wir erkennen den Na- men der Band [...] nen Menge M . Aus früheren Vorlesungen wissen wir bereits, dass die Anzahl aller Teilmengen T – also die Mächtigkeit der Potenzmenge von M – einer gegebenen n-elementigen Menge M durch |P (M)| = 2n berechnet [...] = 6 gilt, da die 2-Kombinationen (oder die 2-elementigen Teilmengen) von {a, b, c, d} die sechs Teilmengen {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} und {c, d} sind. Wir erinnern uns, dass die Anzahl aller

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• Übungen zur Stochastik