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den Würfel auf sich selbst abbilden. A B E F D C H G Zum Beispiel ist die Abbildung d1 mit A 7→ B, B 7→ C, C 7→ D, D 7→ A und E 7→ F , F 7→ G, G 7→ H, H 7→ E eine Drehung um 90◦ um die Achse MN , wenn [...] rt wird. Wir sehen die ersten vier Folgenglieder. d1 = 1 d2 = 3 d3 = 6 d4 = 10 a) Setzen Sie das Muster für die beiden nächsten Folgenglieder d5, d6 fort. Bestimmt fällt Ihnen auf, dass der Index k [...] genden Glieder d3, d4. Bil- den wir die Summe der beiden, ergibt sich eine Quadratzahl, nämlich 6 + 10 = 16 = 42. Das folgende Bild visualisiert den Zusammenhang. d3 = 6 d4 = 10 d3 + d4 = 16 = 42 Abgabe

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• Übungen zur Analysis

∩ sT c) sD ∩ sT d) Ra ∩ Tr Qu Ra Pa Re sD sT V i Dr Tr Hier noch einmal die Definitionen der Viereckstypen. Ein echtes Viereck ABCD heißt - genau dann ein Drachen, wenn AC durch den Mittelpunkt von BD geht [...] w, also w′ ⊥ w. Aufgabe 2 Seien g, h zwei nicht parallele Geraden, sei S der Schnittpunkt und P ̸= S ein Punkt auf g. Seien v, w die beiden Winkelhalbierenden von g, h. Zeigen Sie, dass dann das Viereck [...] ihre Didaktik H. Lorenzen Aufgabe 6 Man bestimme im Haus der Vierecke (siehe unten) die folgenden Schnitte und beweise die Gleichungen wie in der Vorlesung am Montag angedeutet wird. a) sD ∩ Tr b) Dr ∩

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• Übungen Geometrie

mit zwei grünen Ecken A und C und zwei blauen Ecken B und D. D A B C Eine Symmetrietransformation ist nun eine Funktion f : {A,B,C,D} → {A,B,C,D} mit den folgenden Eigenschaften: (i) Die Funktion f ist [...] f bewahrt die Farbe, d.h. sie bildet eine grüne Ecke immer auf eine grüne Ecke und eine blaue Ecke immer auf eine blaue Ecke ab. (iii) Die Funktion bewahrt die Nachbarschaft, d.h. sie bildet benachbarte [...] A, f1(B) = B, f1(C) = C und f1(D) = D ist eine Symmetrietransformation. Sie ist die identische Abbildung. • Die Funktion f2 mit f2(A) = A, f2(B) = D, f2(C) = C und f2(D) = B ist eine Symmetrietransformation

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• Übungen zur Analysis

Sie ein Element von D und schreiben ganz kurz, wie man es in Bezug auf die Ausganssituation lesen soll: Es ist z.B. ........ ∈ D. Das steht für den möglichen Aus- gang, dass ... d) Fassen Sie in den [...] sogenannte Ergebnismenge: D = {...............................................................} b) Weil es so recht unhandlich ist, geben Sie eine Darstellung als Beschreibungs- menge an: D = {............... [...] Interpretation in die Rechnung einfließen zu lassen, bestimmen. g) Berechnen Sie: P (AL) = P (S) = P (AN) = h) Interpretieren Sie die Ergebnisse kurz im Sachzusammenhang: Aufgabe 3 In einem Karton sind 5 schwarze

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• Übungen zur Stochastik

ein Punkt und g eine Gerade. Es sei Pg = {h | h ∈ G, h ∥ g} das Paralle- lenbüschel von g. Man zeige zunächst im 9-Punkte Modell, dann allgemein: ∃h ∈ Pg : h = {X | der Verdopplungspunkt von XA liegt [...] egelung σ ist senkrecht-treu. Aufgabe 3 Satz. Sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck, d. h., es gilt AC ≡ BC. Sei D der Verdopplungspunkt von AC. Dann ist DCCσABDAB ein Parallelogramm. a) Man prüfe den [...] Europa-Universität Flensburg – FrSe 25 Geometrie und ihre Didaktik H. Lorenzen Übung 6 Aufgabe 1 Man überprüfe (zum Beispiel durch geeignete Skizzen) im 9-Punkte-Modell an selbst gewählten Beispielen

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• Übungen Geometrie

Funktion der DIN Norm (d(x) = m · x + c) aufstellen, die jeder Breite x die entsprechende Länge d(x) zuordnet, also: d) Bestimmen Sie reelle Zahlen m, d so, dass die Funktion d zu jeder Breite die Länge [...] auf Injektivität. c) Die Funktion h : R \ {1} → R sei definiert durch h(x) = x− 2 x− 1 . Der Graph von h beschreibt eine Hyperbel. Überprüfen Sie h auf Injektivität. d) Wir betrachten die Mengen A = {1 [...] mit (f + g)(x) = 9 · x+ 4. a) Berechnen Sie (a · d − b · c)(x), falls a, b, c, d : R → R die Funktionen mit a(x) = x+ 1, b(x) = x+ 2, c(x) = x+ 3 und d(x) = x+ 4 sind. b) Es seien f, g : {1, 2, 3, 4, 5

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• Übungen zur Analysis

s, w sind paarweise verschieden}; F := {(g, s, b) ∈ M | g = 5} c) D := {h, t} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}, G := {(m,w) ∈ D | m = h,w ≥ 3}. d) V := {FCB,BVB,RBL,B04, SGE, SCF,BMG,VfB,TSG,WOB, EinbisschenFCA,HSV [...] Würfeln modellieren. Zwei Mengen D1, D2 – als Modelle Würfeln mit drei Würfeln – könnten so gewählt werden: k) D1 = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l) D2 = {. . . . . . . . . . . . . [...] Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Als Teilmengen U9, U10 ⊆ D1 und V9, V10 ⊆ D2, die die zu untersuchende Spielsi- tuation beschreiben, könnten die folgenden Mengen dienen: m) U9 = {(w1, w2) ∈ D1 | . . . . .

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• Übungen zur Stochastik

− 2 ≤ x ≤ 4− y} • D := {(x, y) ∈ R2 | 2 ≤ y ≤ 3 ∧ 4− y ≤ x ≤ 7− y} (i) Bestimmen und skizzieren Sie A ∪B ∪ C ∪D und A ∩B ∩ C ∩D. (ii) Bestimmen Sie nun A ∪ B ∪ C ∪ D und A ∩ B ∩ C ∩ D für den Fall, dass [...] das Phänomen zu formalisieren. Zu diesem Zweck sei f : D → R eine Funktion mit dem Definitionsbereich D. Ferner sei I ⊆ D eine Teilmenge von D, zum Beispiel ein Intervall. Wir sagen nun, die Funktion [...] sprengt den Rahmen, etc. d) Rekonstruieren Sie das Bild, indem Sie auf den Link klicken. e) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen g : R \ {0} → R und h : R → R mit g(x) = x 3 + 3 x und h(x) = 10 |x · (x+ 3)|+

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• Übungen zur Analysis

Europa-Universität Flensburg – FrSe 25 Geometrie und ihre Didaktik H. Lorenzen Übung 5 Aufgabe 1 Man zeige für jedes echte Dreieck im 9-Punkte-Modell: Ist RST rechtwinklig, so ist STR weder rechtwinklig [...] zeige im 9-Punkte-Modell: a) Man gebe alle Parallelprojektionen von {A,B,C} = AB = BA = . . . = CB auf {D,E, F} an. b) Zu je zwei Geraden a, b mit a ∦ b gibt es genau zwei Parallelprojektionen von a auf b. [...] Freitag, den 25.04.2025, 10 Uhr Europa-Universität Flensburg – FrSe 25 Geometrie und ihre Didaktik H. Lorenzen Aufgabe 5 Man zeige nun die noch fehlende Rückrichtung vom: Satz. (Mittelparallelensatz)

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• Übungen Geometrie

2-Kombinationen (oder die 2-elementigen Teilmengen) von {a, b, c, d} die sechs Teilmengen {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} und {c, d} sind. Wir erinnern uns, dass die Anzahl aller Paare von S, also [...] I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 5 Aufgabe 1 Wir wollen uns nun mit unseren Kombinationen ohne Wiederholung aus der letzten Vorlesung beschäftigen, d.h. mit dem Zählen von Teilmengen [...] bis 10 Uhr Europa-Universität Flensburg - HeSe 25/26 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen d) Wir betrachten die Formel( 8 3 ) = ( 7 2 ) + ( 6 2 ) + ( 5 2 ) + ( 4 2 ) + ( 3 2 ) + ( 2 2 )

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• Übungen zur Stochastik