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vierten Stufe. Folglich gilt a(7) = a(6) + a(5) + a(4) . (1) 28 Entsprechend folgen a(6) = a(5) + a(4) + a(3) , (2) a(5) = a(4) + a(3) + a(2) (3) und a(4) = a(3) + a(2) + a(1) . (4) Auf die dritte Stufe [...] für die Ziffer a3 gibt. P = ∗ ∗ 61 ∗ 61161 = ( (a4a3) · 10 3 + 619 )2 = (a4a3) 2 · 106 + 2 · (a4a3) · 10 3 · 619 + 383161 = (a4a3) 2 · 106 + (123 · (a4a3) + 8 · a4 + 38) · 104 + 8 · a3 · 10 3 + 3161 . [...] en ein: a4, a3 und a0 sind Ziffern in unserem Zehnersystem. Zifferndarstellungen von Zahlen mit Variablen schreiben wir in Klammern, z.B. (a4a3) = 10a4 + a3, dagegen (10a4) + a3 = 100 + a4 + a3. Weiterhin

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• Mathematik und Sprache

Relation R auf einer Menge M heit antisymmetrisch, wenn gilt ∀a, b ∈ M : (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b, oder wieder in der üblichen Schreibkonvention ∀a, b ∈ M : aRb ∧ bRa ⇒ a = b. a) Ignor Mynus argumentiert: [...] n: A B CD E a) Stellen Sie die im obigen Bild dargestellte Relation als Menge geordneter Paare dar. b) Stellen Sie die in der Paarschreibweise durch {(A,B), (B,C), (C,A), (C,D), (D,D), (E,A), (A,E), (E [...] antisymmetrisch auf Z, denn für alle ganzen Zahlen a, b folgt aus a | b und b | a stets a = b Hat Ignors Argumentation eine Lücke? b) Man gebe auf der Menge A := {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 100} eine (nichtleere) an

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• Übungen zur Analysis

Ferner seien R ⊆ M ×M und S ⊆ M ×M zwei Relationen auf M . Dann erhalten wir zwei neue Relationen auf M , einerseits die Vereinigung R ∪ S = {(m1,m2) ∈ M ×M | (m1,m2) ∈ R oder (m1,m2) ∈ S} Abgabe bis [...] s den Durchschnitt R ∩ S = {(m1,m2) ∈ M ×M | (m1,m2) ∈ R und (m1,m2) ∈ S} . Beispiel: Es sei M = {1, 2, 3}, es sei R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} die kleiner-Relation auf M und es sei S = {(2, 1), (3, 1) [...] verwirren.) Auf der anderen Seite gilt R∩S = ∅, denn es gibt keine Zahlen m1,m2 ∈ M , für die sowohl m1 < m2 als auch m1 > m2 gültig sind. a) In dieser Teilaufgabe betrachten wir die Menge der Wörter W der

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• Übungen zur Analysis

e f = a b + ( c d + e f ) • Es gilt (a b · c d ) · e f = a b · ( c d · e f ) • Es gilt a b · ( c d + e f ) = (a b · c d ) + ( a b · e f ) Wir definieren weiter (D3) a a := 1, und (D4) 1 · a b := a b . Sie [...] Dies führt uns zur Kennzeichnung a b ∼ c d :⇔ a · d = b · c Brüche der Form a b mit a, b ∈ N bestehen aus einem Zähler a und einem Nenner b. Zwei Brüche a b , c d mit a, b, c, d ∈ N nennen wir gleichwertig [...] und Nenner a · d+ c · b b · d = c · b+ a · d d · b Mit Hilfe der Definition (D1) folgt jetzt c · b+ a · d d · b = c d + a b c) Beweisen Sie analog: • Es gilt a b · c d = c d · a b • Es gilt (a b + c d )

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• Übungen zur Analysis

Intervalle. Wir definieren [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} für beliebige reelle Zahlen a, b mit a ≤ b und nennen [a, b] das abgeschlossene Intervall mit der linken Intervallgrenze a und der rechten Intervallgrenze [...] | 2 ≤ y ≤ 3 ∧ 4− y ≤ x ≤ 7− y} (i) Bestimmen und skizzieren Sie A ∪B ∪ C ∪D und A ∩B ∩ C ∩D. (ii) Bestimmen Sie nun A ∪ B ∪ C ∪ D und A ∩ B ∩ C ∩ D für den Fall, dass x, y ∈ N sind. Abgabe bis Freitag [...] jede Zahl a ∈ R die Funktion f : R → R mit f(x) = ⌊ax⌋, wobei die Klammern mit den Füßen die Abrundungsfunktion bedeuten, die wir im letzten Semester kennengelernt haben. Die Graphen für a = 1, a = 0,75

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• Übungen zur Analysis

(f(x)) = g (x+ 1) = √ x+ 1. f) Seien a, b : R → R die Funktionen mit a(x) = x2 und b(x) = 2x−3. Berechnen Sie a ◦ b und b ◦ a und überzeugen Sie sich, dass a ◦ b ̸= b ◦ a gilt. g) Wir sehen, dass die Verkettung [...] belegen ihre gemeinsame Pizza nun mit den mitgebrachten Zutaten A′ ∪B′. Untersuchen Sie, ob die Abbildung P (A)× P (B) → P (A ∪B) (A′, B′) 7→ A′ ∪B′ surjektiv ist. j) Überprüfen Sie, ob die Verdopplungsfunktion [...] Flächeninhalt eines DIN A0 Blattes ist mit 1m2 festgelegt. Von dort aus wer- den alle kleineren DIN A Größen entsprechend des oben angegebenen Verfahrens abgeleitet. Ein DIN A1 Blatt hat dann natürlich

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• Übungen zur Analysis

5}. Was ist eine obere Schranke? Die Zahl a ∈ R+ ist eine obere Schranke, denn für jede reelle Zahl x gilt fa(x) = a3 x2 + a2 ≤ a3 a2 = a. Hier vergrößern wir den Bruch (mit positivem Zähler und Nenner) [...] ampe Aufgabe 2 Eine Permutation einer Menge M ist eine Funktion p : M → M , die bijektiv ist und jedem Element der Menge M ein Element aus derselben Menge M zuordnet. Kurz gesagt: Eine Permutation ist [...] R → R mit fa(x) = a3 x2 + a2 für jede Wahl des Parameters als eine positive reelle Zahl a nach oben beschränkt. Hier sehen Sie ein Bild mit den Graphen der Funktionenvielfalt für a ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

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• Übungen zur Analysis

uns leicht): a1 = 1, a2 = 2, a3 = 2− 1 = 1, a4 = 1− 2 = −1, a5 = −1− 1 = −2, a6 = −2− (−1) = −1, a7 = −1− (−2) = 1, a8 = 1− (−1) = 2. Oder kurz (an) = (1, 2, 1,−1,−2,−1, 1, 2, . . . ). a) Begründen Sie [...] jedes Folgenglied an gilt: an = an+k. Im vor- liegenden Fall wäre ein k = 5, denn es gilt a1 = 1 = a1+5 = a6, a2 = a7, . . . Da natürlich dann sehr viele solche k existieren (warum eigentlich?), wählen [...] selbst abbilden. A B E F D C H G Zum Beispiel ist die Abbildung d1 mit A 7→ B, B 7→ C, C 7→ D, D 7→ A und E 7→ F , F 7→ G, G 7→ H, H 7→ E eine Drehung um 90◦ um die Achse MN , wenn M der Mittelpunkt der

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• Übungen zur Analysis

die folgenden fünf Terme: A1(a, c, h) = 1 2 ((a+ c) · h) A2(a, c, h) = ( 1 2 (a · h) + 1 2 (c · h) ) A3(a, c, h) = ( a+ c 2 ) · h A4(a, c, h) = ( h 2 ) · (a+ c) A5(m,h) = m · h (1) Es folgen nun eine [...] ✓ 1 0 0 0 1 1 110 20 ◆ ; die Lösungsmenge ist8 < : 0 @ 110 20 + f f 1 A | 0 f 90 9 = ; = 8 < : 0 @ 110 20 0 1 A + f 0 @ 0 1 1 1 A | 0 f 90 9 = ; ; der Tisch muss 110 cm hoch sein. 5 f) Die Quadratzahlen [...] eines Trapezes könnte so aussehen. Wir führen nun die Bezeichnungen a, c, h,m für vier Längen durch das folgende Bild ein, wobei nur m als die sogenannte Mittellinie des Trapezes vielleicht unge- wohnt

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• Übungen zur Analysis

ell: a) Man gebe alle Parallelprojektionen von {A,B,C} = AB = BA = . . . = CB auf {D,E, F} an. b) Zu je zwei Geraden a, b mit a ∦ b gibt es genau zwei Parallelprojektionen von a auf b. c) Sind a, b, c [...] AB A B C M N Mittelparallele Aufgabe 6 Definition. Zwei Dreiecke ABC und A′B′C ′ heißen kongruent, wenn sie sei- tenweise kongruent sind, also wenn gilt: AB ≡ A′B′ und BC ≡ B′C ′ und CA ≡ C ′A′. a) Es [...] und sei M der Mittelpunkt der Strecke AC. Sei N ∈ BC. Dann gilt: Der Punkt N ist genau dann der Mittelpunkt der Strecke BC, wenn die Verbindungsgerade von M und N parallel zur Seitenlinie von A und B ist

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• Übungen Geometrie