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Ungleichung mit (n− 1) die Behauptung |GA| ≤ n+ 1. 4. Es gilt ∑ A∈P |GA| = ∑ A∈P (n+ 1). Beweis. n2 · (n+ 1) = ?) |G| · n = ?) ∑ g∈G |g| = Satz ? ∑ A∈P |GA| ≤ ?. ∑ A∈P (n+ 1) = ?) n2 · (n+ 1), also gilt die [...] A gilt: P (A) = P, warum? Sei also A ein Punkt. Dann gilt: |P (A)| − 1 = ?. |GA| · (n− 1) = ?. (n+ 1) · (n− 1) = n2 − 1 = ?) |P| − 1. Abgabe der Bearbeitungen direkt in die Lücken dieses Blattes schreiben [...] Gleichung |P (A)| − 1 = |P (A) \ {A}| = ∑ g∈GA |g \ {A}| = |GA| · (n− 1). 3. Für alle Punkte A gilt: |GA| ≤ n+ 1. Beweis. Sei A ein Punkt, dann gilt |GA| · (n− 1) = 2. . . . ≤ |P| − 1 = i) . . . . Also folgt
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Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 5 Aufgabe 1 Man bestimme drei verschiedene bijektive Funktionen f, g, h mit f, g, h : [1, 3]→ [2, 6] . Hinweis: Für reelle a, b wird definiert: [a, b] [...] f, g, h auf Injektivität und Surjektivität (mit Be- weis) a) f1 : R2 → R2, (x, y) 7→ (3x− 2, 5y + 7) b) f : R \ {2} → R \ {5}, x 7→ 5x+1 x−2 c) Seien a, b ∈ R und g : R→ R, x 7→ ax+ b (Fallunterscheidung) [...] n| = 1. Aufgabe 5 a) Sei S = {a, b, c, d} eine 4-elementige Menge und sei T die 6-elementige Menge aller 2- elementigen Teilmengen von S. Man zeige: Es gibt eine injektive Funktion f : S → {0, 1, 2, 3
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Wiederholung Versuch 1 Versuch 4 nk ( n + k − 1 k ) ohne Wiederholung Versuch 2 Versuch 3 n · (n− 1) · (n− 2) · . . . · (n− (k − 1)) ( n k ) := n! k! · (n− k)! = n! (n− k)! Tabelle 1: Auswahl von k Elementen [...] benutzt werden. Aufgabe 1 Es sei (Ω, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}. Es gilt P ({ω1}) = P ({ω2}) und P ({ω3}) = P ({ω4}) = 2 · P ({ω1}). Man bestimme P ({ω1, ω3}). Aufgabe 2 a) Eine [...] kennengelernt, sie besagt: Sind T1, T2, . . . , Tn paarweise disjunkte Ereignisse eines Zufallsexperimentes, dann gilt |T1 ∪ T2 ∪ T3 ∪ . . . ∪ Tn| = |T1|+ |T2|+ . . . + |Tn| = n∑ i=1 |Ti|. Auch die Produktregel
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machen. Es gilt z.B. die Kongruenz P1P3 ≡ P2P3 (die anschaulich in unserer Visualisierung alles andere als kongruent sind), denn es gilt ja P1P3 = P2P3 und damit folgt ja P1P3 ‖ P2P3, also die zweite Bedingung [...] aus den beiden Sorten. Probieren Sie die Wirkungsweise der Definition, um P1P5 6≡ P6P9 einzusehen. Sei nun wie oben P := {P1, P2, . . . , P9} und G = Gblau ∪ Grot. Wir werden uns in der näch- sten Vorlesung [...] die Mittelparallele im Dreieck benutzt, also die Rückrichtung „ ⇐ “ des nachfolgenden Satzes. Aufgabe 1 Man zeige nun die noch fehlende Rückrichtung vom: Satz (Mittelparallelensatz ). Sei ABC ein echtes Dreieck
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mit Wiederholung n · n · . . . · n︸ ︷︷ ︸ k−mal = nk ( n+ k − 1 k ) = ( k + n− 1 n− 1 ) ohne Wiederholung n · (n− 1) · (n− 2) · . . . · (n− (k − 1)) ( n k ) := n! k! · (n− k)! = n! (n− k)! Auswahl von k Elementen [...] 2 Zwei Spieler werfen abwechselnd eine Münze, erst Spieler 1, dann Spieler 2. Der Spieler bekommt 2 Punkte, wenn Wappen (W) erscheint, und 1 Punkt, wenn Zahl (Z) erscheint. Wenn ein Spieler mindestens [...] Elementen aus einer Menge mit n Elementen Nun zu den Aufgaben . . . Aufgabe 1 In einer Losbude stehen drei Los-Eimer, ein großer und zwei kleine. In dem großen Eimer sind 100 Lose, davon 10 Gewinne. In
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Aufgabe 1 Sei f : Z→ N mit z 7→ f(z) := { 2z + 1, z ≥ 0 −2z, z < 0 eine Funktion. Wie leicht zu zeigen ist, ist f eine bijektive Funktion und f−1 : N→ Z ihre Umkehrfunktion. a) Man bestimme f−1(3), f−1(4) und [...] und f−1(5). Wir definieren eine Verknüpfung ◦ auf N so, dass für alle a, b ∈ N gilt: a ◦ b := f(f−1(a) + f−1(b)). b) Man zeige, dass im allgemeinen a ◦ b 6= a+ b für a, b ∈ N gilt. c) Man zeige, dass das [...] eine Funktion auf R? Aufgabe 3 a) Sei N3 = {1, 2, 3} und N4 = {1, 2, 3, 4}. Man zeige durch die Angabe einer konkreten Bijektion f mit f : N3 ×N4 → {n | n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 12}, dass N3 ×N4 eine endliche Menge
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Geradenspiegelungen. Statt der Buchstaben P1, P2, . . . könnte man folgende Buchstaben für die Bezeichnungen der Punkte vorschlagen: A B C D E F G H I Aufgabe 1 Man überprüfe (zum Beispiel durch geeignete [...] telpunkt M der Seite CD (oben) zu liegen kommt. Dadurch entstehen die Punkte X und Y , siehe Abbildung 1 (nächste Seite). a) Man zeige, dass die Seitenlängen des Dreiecks MXC im Verhältnis 3 : 4 : 5 stehen [...] Flensburg-FrSe 2024 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen • A • B •C•D •M •X •Y •Z Abbildung 1: Ein Origami
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Satz 0.2 die Gleichmächtigkeit der Mengen (0, 1) und [0, 1], also die Gleichmächtigkeit des offenen Intervalls (0, 1) und des geschlossenen Intervalls [0, 1]. Aufgabe 3 Wir definieren für jede reelle Zahl [...] Freitag, den 5. Mai bis 12 Uhr Aufgabe 1 In der letzten Vorlesung wurden die beiden folgenden Sätze thematisiert, wobei Satz 0.1 noch nicht bewiesen wurde. Satz 0.1. Sei A, B nichtleere Mengen und B ⊆ A [...] |B| g−11 : W (g)→ B ist bijektiv ex. injektive Funktionen f, g mit f : A→ B, g : B → A g1 : B →W (g) definiert g1(x) = g(x) für alle x ∈ B ist bijektiv daher ist g−11 ◦ h : A→ B eine bijektive Funktion
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Urne Gewinnwahrscheinlichkeit für Strategie . . . 1.Stategie 2.Stategie 3.Stategie 4.Stategie 5.Stategie 0 0 1 1 1 1 1 0,74 2 0,60 3 0,52 4 0,80 5 1 0 1 1 1 2. Strategie: Sie rät, dass Antonius eine grüne [...] disjunkte Ereignisse mit P (Bi) 6= 0 für i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}. Sei Ω = ⋃n i=1Bi. Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A P (A) = n∑ i=1 PBi (A) · P (Bi). Zweimalige Anwendung der bedingten [...] mit P (A) 6= 0. Dann gilt für jedes i ∈ {1, 2, 3, . . . , n} PA(Bi) = PBi (A) · P (Bi) P (A) = PBi (A) · P (Bi)∑n k=1 PBk (A) · P (Bk) . Aufgabe 1 Unter den letzten vier Spielerinnen eines Tennis-Turniers
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Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 7 Sei (P,G,≡,⊥) eine euklidische Ebene. Aufgabe 1 Sei das 9-Punkte-Modell gegeben. Man beweise oder widerlege: a) Jedes Trapez, dessen Diagonallinien
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