fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/stochastik/serie-11-2023-stochastik.pdf
Zufallsgröße X habe die reelle Wertemenge {x1, x2, ..., xn} ⊆ R mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten W (xi). Dann heißt die Zahl E(X) := n∑ i=1 xi ·W (xi) = n∑ i=1 xi · P (X = xi) der Erwartungswert der [...] Zufallsgröße X habe die Wertemenge {x1, x2, . . . , xn} und seien die Wahrscheinlichkeiten mit P (X = x1), . . . bezeichnet. Dann heißt die Zahl V (X) := E((X − E(X))2) = n∑ i=1 (xi − E(X))2 · P (X = xi) die [...] Aufgabe 4 a) Wir würfeln n-mal mit einemWürfel. SeiXi die Augenzahl bei Wurf i, wobei i = 1, ..., n. Es sei S = X1 + ... + Xn die Augensumme. Bestimmen Sie den Erwartungswert. b) In einer Urne liegen 49
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-11-geometrie.pdf
H. Lorenzen Übung 11 Sei (P,G,≡,⊥) eine euklidische Ebene von Charakteristik 6= 3 gegeben. Aufgabe 1 Sei ABCD ein echtes Viereck und sei KLMN ein echtes Seitenmittenviereck von ABCD. Man zeige, dass dann [...] Mittelpunkt von CA. Man zeige: Die Seitenhalbieren- denlinie des Dreiecks ABM von A aus schneidet BC im 2:1-Teilungspunkt von CB. Aufgabe 3 In einem echten Dreieck ABC sei w eine Winkelhalbierende bei C. Dann [...] Strecke BC ist, dann schneiden sich die Geraden MX und AC in einem Punkt. c) Man zeige: Wenn X der 2:1 Teilungspunkt der Strecke BC ist, dann ist der Schnitt- punkt von MX und AC der Verdopplungs- punkt
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/analysis/serie-12-2023-analysis.pdf
Definition 0.1. Seien {an}n∈N und {bn}n∈N Folgen, dann gilt {an}n∈N + {bn}n∈N := {an + bn}n∈N = {a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, . . . }, und entsprechend {an}n∈N · {bn}n∈N := {an · bn}n∈N := {a1 · b1, a2 · b2 [...] b2, a3 · b3, . . . }. Aufgabe 1 Man beweise: Seien {an}n∈N und {bn}n∈N konvergente Folgen, d.h. es gibt Grenzwerte a, b ∈ R mit lim n→∞ {an} = a und lim n→∞ {bn} = b, dann gilt auch, dass die Summe der Folgen [...] Supremum der Menge M := { m m+ n ∣∣∣∣ m,n ∈ N } Beweise sind jeweils erforderlich. Hinweis. Es gilt N := {1, 2, 3, . . . }. Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 09. Juni bis 12 Uhr
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/analysis/serie-13-2023-analysis.pdf
wie gewohnt statt. Aufgabe 1 Man zeige, dass die Reihe ∞∑ k=1 1 2k konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. Aufgabe 2 Man zeige, dass die Reihe ∞∑ k=1 1 (3k − 2) · (3k + 1) konvergiert und bestimme ihren [...] durch Induktion: Für alle natürlichen Zahlen n gilt: 2n > n. b) Man zeige, dass die Folge {an}n∈N = { 1 + 1 2n } n∈N konvergiert.
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/analysis/serie-2-2023-analysis.pdf
wir mit 1, also e = 1. iii) Die zu a inversen Elemente a′ in (R,+) bezeichnen wir mit (−a), also a′ = (−a). iv) Die zu a inversen Elemente a′ in (R\{0}, ·) bezeichnen wir mit a−1, also a′ = a−1. Abgabe [...] := a+ (−b) (Das Minus als Rechenzeichen ist erschaffen, juhu!) iii) Für b 6= 0 gilt a b := a · b−1 = a · 1 b (Ein Bruch ist erschaffen, oh je! Erinnern Sie sich an die heutige Vorlesung?) iv) a2 := a · a [...] Aufgaben, wobei Begründungen jeweils zu dokumentieren sind, z.B. in der Form . . . = wegen(G1)in(R,+) . . . Aufgabe 1 Man beweise: (a) Die neutralen Elemente in (R,+) und (R\{0}, ·) sind eindeutig bestimmt
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/stochastik/serie-2-2023-stochastik.pdf
befinden sich vier Karten. Jede zeigt eine der Ziffern von 1 bis 4. Spielregeln: Zwei Spieler ziehen abwechselnd aus dem Beutel Karten. Spieler 1 gewinnt, wenn er entweder zwei gerade oder zwei ungerade [...] Theorie haben, ist dieses Übungsblatt auch nur mit dem gesunden Menschenverstand zu bearbeiten. Aufgabe 1 Neun Karten werden so ausgelegt wie in der folgenden Abbildung. Zwei Spieler wählen nacheinander einen
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-2-geometrie.pdf
im Vergleich zur Kongruenzstruktur einfachen Strukturbegriff diskutiert und etabliert: Definition 0.1. Sei P eine Menge und G eine Menge von Teilmengen von P. Dann heißt (P,G) eine Inzidenzstruktur, wobei [...] sich die Elemente von G als Geraden. (P,G) ist somit die Inzidenzstruktur der Zeichenebene. Aufgabe 1 Sei P := {A,B,C,D} eine Menge von Punkten. Offenbar gilt |P| = 4. a) Man bestimme die Anzahl aller möglichen [...] und gebe deren Äquivalenzklassen an (mit Beweis). b) Man gebe zwei verschiedene Kongruenz-Relationen ≡1 und ≡2 auf P ×P an (mit Beweis). ******************************************************************
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/analysis/serie-3-2023-analysis.pdf
der Menge M := {1, 2, 3, 4, 5} gegeben: ◦ 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 1 4 5 3 3 3 4 5 2 1 4 4 5 1 3 2 5 5 3 2 1 4 ∗ 1 2 3 4 5 1 4 3 1 5 2 2 3 5 2 1 4 3 1 2 3 4 5 4 5 1 4 2 3 5 2 4 5 3 1 Man beweise, dass [...] definiert: a ∗ b := a · b a+ b , für a 6= 0, b 6= 0, a+ b 6= 0 a+ b , sonst a) Man berechne 0 ∗ 0, 1 ∗ (−1), 0 ∗ 1 2 , (− 2 3) ∗ 3 4 b) Man zeige: ∃e ∈ Q ∀q ∈ Q : e ∗ q = q ∗ e = q c) Man zeige: ∀q ∈ Q ∃q′ ∈ [...] wird lediglich die Einerziffer notiert. Folgendes Beispiel soll dies illustrieren: 2 8 4 1 2 ⊕ 3 6 7 9 7 = 5 4 1 0 9 a) Man zeige: Die Verknüpfungsstruktur (N0,⊕) ist eine kommutative Gruppe. b) Man zeige:
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/stochastik/serie-3-2023-stochastik.pdf
Grundmenge(probability) wird nun als Funktion P mit P : P(Ω)→ [0,1] , T 7→ P (T ) ∈ [0,1] mit zwei zentralen Eigenschaften definiert, nämlich • P (Ω) = 1, und • P ( ⋃ i∈I Ti) = ∑ i∈I P (Ti), für alle paarweisen [...] t genau dann, wenn für alle (Elementar-)Ergebnisse ω ∈ Ω bzw. Ereignisse {ω} ⊆ Ω gilt: • P ({ω}) = 1 |Ω| , wobei |Ω| die Anzahl der Elemente der Grund- oder Ergebnismenge, sprich die Anzahl der Elemen [...] Kontext zu, wobei - wenn nicht erwähnt - stets eine passende Grundmenge Ω angegeben werden soll. Aufgabe 1 Von zwei Urnen enthält die Urne I eine schwarze Kugel und zwei rote Kugeln, die Urne II zwei schwarze
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-3-geometrie.pdf
Europa-Universität Flensburg - FrSe 24 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 3 Aufgabe 1 Man beweise oder widerlege: a) Sei P eine Menge mit der Mächtigkeit 3. Sei Ga die Menge aller zweie [...] Punkt, der weder auf g noch auf h liegt. Aufgabe 3 Für diese Aufgabe machen wir folgende Vereinbarungen 1. (Vein) bedeutet die Eindeutigkeitsaussage des Axioms (V ) 2. (Vex) bedeutet die Existenzaussage des [...] Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Bemerkung: Offenbar ist das Paar ({A,B,C,D},Gb) (vgl. 1 b) und die Vorlesung am Montag) eine affine Ebe- ne, die wohl kleinste Ebene. Sei G2 := Gb. Hier der
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-