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Aufgabe 1 Sei f : Z→ N mit z 7→ f(z) := { 2z + 1, z ≥ 0 −2z, z < 0 eine Funktion. Wie leicht zu zeigen ist, ist f eine bijektive Funktion und f−1 : N→ Z ihre Umkehrfunktion. a) Man bestimme f−1(3), f−1(4) und [...] und f−1(5). Wir definieren eine Verknüpfung ◦ auf N so, dass für alle a, b ∈ N gilt: a ◦ b := f(f−1(a) + f−1(b)). b) Man zeige, dass im allgemeinen a ◦ b 6= a+ b für a, b ∈ N gilt. c) Man zeige, dass das [...] eine Funktion auf R? Aufgabe 3 a) Sei N3 = {1, 2, 3} und N4 = {1, 2, 3, 4}. Man zeige durch die Angabe einer konkreten Bijektion f mit f : N3 ×N4 → {n | n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 12}, dass N3 ×N4 eine endliche Menge
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Geradenspiegelungen. Statt der Buchstaben P1, P2, . . . könnte man folgende Buchstaben für die Bezeichnungen der Punkte vorschlagen: A B C D E F G H I Aufgabe 1 Man überprüfe (zum Beispiel durch geeignete [...] telpunkt M der Seite CD (oben) zu liegen kommt. Dadurch entstehen die Punkte X und Y , siehe Abbildung 1 (nächste Seite). a) Man zeige, dass die Seitenlängen des Dreiecks MXC im Verhältnis 3 : 4 : 5 stehen [...] Flensburg-FrSe 2024 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen • A • B •C•D •M •X •Y •Z Abbildung 1: Ein Origami
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Satz 0.2 die Gleichmächtigkeit der Mengen (0, 1) und [0, 1], also die Gleichmächtigkeit des offenen Intervalls (0, 1) und des geschlossenen Intervalls [0, 1]. Aufgabe 3 Wir definieren für jede reelle Zahl [...] Freitag, den 5. Mai bis 12 Uhr Aufgabe 1 In der letzten Vorlesung wurden die beiden folgenden Sätze thematisiert, wobei Satz 0.1 noch nicht bewiesen wurde. Satz 0.1. Sei A, B nichtleere Mengen und B ⊆ A [...] |B| g−11 : W (g)→ B ist bijektiv ex. injektive Funktionen f, g mit f : A→ B, g : B → A g1 : B →W (g) definiert g1(x) = g(x) für alle x ∈ B ist bijektiv daher ist g−11 ◦ h : A→ B eine bijektive Funktion
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Urne Gewinnwahrscheinlichkeit für Strategie . . . 1.Stategie 2.Stategie 3.Stategie 4.Stategie 5.Stategie 0 0 1 1 1 1 1 0,74 2 0,60 3 0,52 4 0,80 5 1 0 1 1 1 2. Strategie: Sie rät, dass Antonius eine grüne [...] disjunkte Ereignisse mit P (Bi) 6= 0 für i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}. Sei Ω = ⋃n i=1Bi. Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A P (A) = n∑ i=1 PBi (A) · P (Bi). Zweimalige Anwendung der bedingten [...] mit P (A) 6= 0. Dann gilt für jedes i ∈ {1, 2, 3, . . . , n} PA(Bi) = PBi (A) · P (Bi) P (A) = PBi (A) · P (Bi)∑n k=1 PBk (A) · P (Bk) . Aufgabe 1 Unter den letzten vier Spielerinnen eines Tennis-Turniers
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Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 7 Sei (P,G,≡,⊥) eine euklidische Ebene. Aufgabe 1 Sei das 9-Punkte-Modell gegeben. Man beweise oder widerlege: a) Jedes Trapez, dessen Diagonallinien
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Für alle natürlichen Zahlen n gilt: a) 4n > n3 b) 1√ 1 + 1√ 2 + 1√ 3 + . . . + 1√ n ≤ 2 · √ n− 1 Bearbeitungen bis Freitag, den 12. Mai bis 12 Uhr [...] beweisen. Zur Erinnerung: Satz 0.1 (Induktionsprinzip). Für jede natürliche Zahl n sei P (n) eine Aussage. Wenn (1) P (1) wahr ist, und (2) die Implikation ∀n ∈ N : P (n)⇒ P (n+ 1) auch wahr ist, dann gilt P [...] natürlichen Zahlen n, d.h. ∀n ∈ N ist P (n) wahr. Aufgabe 1 a) Für alle natürlichen Zahlen wird eine Aussage A(n) : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 definiert. Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen
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der Bearbeitungen am Freitag, den 17. November bis 10 Uhr Aufgabe 1 [nicht schriftlich] In einer Schachtel liegen mit den Zahlen von 1 bis 24 beschriftete Kugel, wir ziehen blind eine Kugel. Wir betrachten [...] einem Tisch liegen drei mit 0, 1, 2 beschriftete Kästen mit Zigarren. Im ersten Kasten liegen 2 Zigarren, und zwar eine dunkle und eine helle, im zweiten Kasten liegen n + 1 Zigarren, eine dunkle und n helle [...] dunkle Zigarre zu greifen, genau 1 3 wird. Aufgabe 3 [WDH und Ergänzung aus der Plenarübung] Drei Urnen sind mit weißen und schwarzen Kugeln so gefüllt, dass in einer 1 weiße und 3 schwarze Kugeln liegen
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der Bearbeitungen am Freitag, den 10. Mai bis 12 Uhr Sei (P,G,≡,⊥) eine euklidische Ebene. Aufgabe 1 Man bestimme im Haus der Vierecke die folgenden Schnitte und beweise sie anschließend. a) sD ∩ Tr b)
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(wenn sie existieren) von folgenden Mengen an: a) A = {m n | m,n ∈ N,m < n } b) B = {4− (−1)n | n ∈ N} c) C = { (−1)m n | m,n ∈ N } d) D = { n 3n+ 4 | n ∈ N } Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 19. [...] gibt es ein y ∈M mit s− ε < y Man beweise nun die Gleichwertigkeit von ii) und ii)’, also: Aufgabe 1 Sei s ∈ R eine obere Schranke einer Teilmenge T ⊆ R. Dann sind folgende Aussagen gleich- wertig: keine
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Ereignissen) Die Ereignisse A1, A2, A3, . . . , An mit n ∈ N heißen unabhängig voneinander in (Ω, P ) genau dann, wenn für alle k ∈ N mit 2 6 k 6 n und alle Indizes 1 ≤ i1 < i2 [...] den 24. November bis 10 Uhr Es folgt ein kurzer Überblick über den Stand der Vorlesung. Definition 1 (Unabhängigkeit von zwei Ereignissen) Die Ereignisse A, B heißen unabhängig voneinander in (Ω, P ) genau
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