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Aufgabe 1 Sei AB eine echte Strecke mit Mittelpunkt M . Die Kreise k1(M,B), k2(B,M) mögen sich in zwei verschiedenen Punkten X,Y schneiden. Man zeige, dass dann AX ≡ XY gilt. Die folgende Aufgabe ist ein [...] (Charakterisierung von Tangentenvierecken). Im Tangentenviereck ABCD ist die Summe der Längen je zweier gegenüberliegender Seiten gleich der Summe der Längen der beiden anderen Seiten. Warum lässt sich
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≡ XXb. Diese Gerade p nennen wir die Mittelparallele von a und b. Satz. Sei p die Mittelparallele zweier Geraden a, b. Dann gilt für jedes kollineare Dreieck APB mit A ∈ a, P ∈ p und B ∈ b die Kongruenz
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Ecken des n-Ecks. Zwei aufeinanderfolgen- de Ecken (einschließlich An und A1) nennen wir benachbart. Die Strecken die aus zwei benachbarten Ecken bestehen heißen die Seiten des n-Ecks. Zwei verschiedene Seiten [...] mindestens ein zweites mal schneiden. - Die beiden Diagonallinien eines Parallelogramms können nicht zueinander parallel sein. - Liegen zwischen den beiden Endpunkten einer Strecke zwei weitere Punkte [...] entwickeln müssen, in der wir die Phänomene beschreiben wollen. Diese angezielte Sprache fußt auf zwei- erlei: Einerseits gewisse Objekte bzw. Objekttypen, die wir in der Ebene sichten, und andererseits
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alle Äquivalenzrelationen Ri auf P an und gebe deren Äquivalenzklassen an (mit Beweis). b) Man gebe zwei verschiedene Kongruenz-Relationen ≡1 und ≡2 auf P ×P an (mit Beweis). ***************************
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3. Sei Ga die Menge aller zweielementigen Teilmengen von P. Dann ist (P,Ga) eine affine Ebene. b) Sei P eine Menge mit der Mächtigkeit 4. Sei Gb die Menge aller zweielementigen Teilmengen von P. Dann ist [...] 5. Sei Gc die Menge aller zweielementigen Teilmengen von P. Dann ist (P,Gc) eine affine Ebene. d) Sei P eine Menge mit der Mächtigkeit 6. Sei Gd die Menge aller zweielementigen Teilmengen von P. Dann ist [...] mindestens 2 Punkte, die nicht auf g liegen. c) Zu je zwei Punkten A,B gibt es mindestens eine Gerade, die weder durch A noch durch B geht. d) In je zwei Geraden g, h gibt es mindestens einen Punkt, der weder
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Voraussetzung . . . findet man eine Gerade g. Wegen Voraussetzung . . . liegen auf g (mindestens) zwei verschiedene Punkte A,B. Wegen . . . und . . . gilt die Ungleichung |g| = n < n2 = |P|, also gilt [...] Definition 0.2. Sei R eine endliche abelsche Gruppe (additiv geschrieben, vgl. Vorlesung aus dem zweiten Semester oder aber auch hier 1) und D eine Teilmenge von R. D heißt eine Differenzenmenge von R, [...] auch - bei zunächst oberflächlicher Lektüre des Vorangegangenen - gleich hier loslegen, und dann im zweiten Anlauf eine Rückschau auf die Theorieentwicklung halten. Also: Für die Konstruktion einer affinen
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Menge der Geraden. Eine Veranschaulichung von (P,G,≡,⊥) könnte nun so aussehen, wobei wir hier optisch zwei Sorten von Geraden in den Farben blau und rot unterschieden haben. Abgabe der Bearbeitungen bis Freitag [...] Grot = {{P2, P6, P7}, { }, { }, { }, { }, { }} Man hat also in dieser endlichen euklidischen Ebene zwei Sorten von Geraden (das ist typisch für endliche Ebenen), halt die blauen und die roten. Innerhalb [...] andere als kongruent sind), denn es gilt ja P1P3 = P2P3 und damit folgt ja P1P3 ‖ P2P3, also die zweite Bedingung in der obigen Defi- nition. Auch gilt P2P7 ≡ P4P9, die beiden Strecken gehören der roten
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σ{A,E,I} spiegelt, dann sollte auch {G,H, I}σ{A,E,I} zu {B,E,H}σ{A,E,I} senkrecht sein). Aufgabe 2 Zwei Dreiecke ABC und A′B′C ′ heißen kongruent, wenn sie seitenweise kongruent sind, also wenn gilt: AB
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Dreieck und C ein Punkt auf der Verbindungsgeraden von A und B, also C ∈ AB. Man zeige, dass aus je zwei der folgenden Aussagen die dritte Aussage folgt. i) ABX ist gleichschenklig, es gilt also AX ≡ BX
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beantwortet . . . ] d) Man gebe alle Tangenten ti am Kreis k := k(F,H) an. e) Man zeige: Berührt ein Kreis zwei Geraden g, h, dann gilt g ‖ h oder g ⊥ h. •G •H •I •D •E •F •A •B •C Sei nun (P,G,≡,⊥) eine euklidische
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