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der 6 wesentlich voneinander verschiedenen Aussagen, die durch alle möglichen Quantorisierungen der Aussage (x, y) ∈ T entstehen, wahr sind. Welche 4 Aussagen können das dann nur sein?(Es gibt zwei Mög [...] genau 4 Quantori- sierungen der Aussage (x, y) ∈ T wahr sind. Man behandele abschließend dieselbe Fragestellung für N = N. Aufgabe 2 Man widerlege folgende Existenzaussagen. a) Es gibt ungerade Zahlen a [...] (A×B) ∪ (C ×D) = (A ∪ C)× (B ∪D). c) (A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D). Aufgabe 4 Zu den folgenden Aussagen gebe man (a) einen direkten Beweis und (b) einen Beweis durch Widerspruch an. i) Für alle positiven
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Person bewusst ist, dass ihre Aussagen in privilegierter Weise anzusehen sind (vgl. ebd.: 32f.). Meines Erachtens bedeutet dies, dass jeder Satz eine aufrichtige Aussage enthalten müsse, was somit eine [...] Davidson lediglich auf propositionale Aussagen (vgl. Da- vidson 2004a: 21). Dieses soll im folgenden Kapitel näher betrachtet werden. Unter propositionalen Aussagen versteht Davidson Einstellungen wie Glauben [...] n „Feuer“ verknüpft wird und somit ei- ne Gefahrenquelle darstellt. So kommt es zu dieser Aussage. Die Aussage geht in diesem Fall mit der Überzeugung einher, sodass besondere Autorität vorliegt (vgl.
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wird eine Aussage A(n) : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 definiert. Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n die Aussage A(n) wahr ist. b) Für alle natürlichen Zahlen wird eine Aussage B(n) : 1 + [...] definiert. Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n die Aussage B(n) wahr ist. Ab jetzt verzichten wir auf die explizite Definition der Aussage. Aufgabe 2 Man zeige: Für alle natürlichen Zahlen n gilt: [...] beweisen. Zur Erinnerung: Satz 0.1 (Induktionsprinzip). Für jede natürliche Zahl n sei P (n) eine Aussage. Wenn (1) P (1) wahr ist, und (2) die Implikation ∀n ∈ N : P (n)⇒ P (n+ 1) auch wahr ist, dann gilt
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gleichen Wahrheitswert haben. Aufgabe 4 Seien A,B Aussagen und sei G(A,B) ein aussagenlogischer Ausdruck (manchmal sagt man dazu auch eine aussagenlogische Formel) in den beiden Variablen A,B. Es sei G(A [...] dieser Aufgabe geht es um das korrekte Übersetzen einer sprachlichen Aussage in eine rein syntaktische auf Junktoren basierte Aussage. Vorweg ein inkorrektes Beispiel: a) https://eufmath.uni-flensburg. [...] en) Ausdruck zur Disjunktion A ∨ B an, in dem nur der Junktor ⇒ auftritt. Aufgabe 2 Seien A,B,C Aussagen. Wir kennen bereits das Distributivgesetz ((A ∧ B) ∨ C) ⇔ ((A ∨ C) ∧ (B ∨ C)). Welche der Junktoren
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bedeutet die Eindeutigkeitsaussage des Axioms (V ) 2. (Vex) bedeutet die Existenzaussage des Axioms (V ) 3. (Pein) bedeutet die Eindeutigkeitsaussage des Axioms (P ) 4. (Pex) bedeutet die Existenzaussage des Axioms [...] Axioms (P ) Für jede Aussage (X) aus den 5 Aussagen (Vein), (Vex), (Pein), (Pex), (D) gebe man eine Inzidenzstruktur (P,G) an, die (X) nicht erfüllt, aber die übrigen 4 Aussagen erfüllt. Es genügt die [...] igen Teilmengen von P. Dann ist (P,Gd) eine affine Ebene. Aufgabe 2 Man überprüfe die folgenden Aussagen daraufhin, ob sie in jeder affinen Ebene (P,G) gelten. a) Zu jedem Punkt A gibt es mindestens 2
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dass auf die Prämisse der Aussage nicht verzichtet werden kann. c) Man beweise die Aussage. d) Gilt auch die Umkehrung der Aussage? Man beweise die getroffene Entscheidung. Aufgabe 3 Man untersuche, ob die [...] Gegeben ist die folgende Aussage. Für alle Mengen A,B,C gilt: Wenn A ⊆ C gilt, dann gilt auch A∪ (B∩C) = (A∪B)∩C. a) Man gebe ein konkretes Beispiel für die Richtigkeit der Aussage an. b) Man beweise, dass [...] behandelt die am Freitag geschriebene Modulprüfung. Übung 1 Aufgabe 1 Man beweise die folgenden Aussagen. a) Für alle Mengen A,B gilt: P(A ∩B) = P(A) ∩ P(B). Erinnerung. Für jede Menge M ist P(M) die Menge
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der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Man gebe als Begründung jeweils konkrete natürliche Zahlen an, bei einer falschen Aussage gebe man entsprechend für die Negation der Aussage konkrete Zahlen [...] I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 6 Aufgabe 1 Welche der folgenden Aussagen impliziert, dass die Aussage „Anton und Bert besuchen ein Konzert, wenn sie beide zusammen essen gehen.“ wahr wird [...] m < n e) ∃n ∈ N ∀m ∈ N : m < n f) ∀n ∈ N ∃m ∈ N : m < n Aufgabe 3 Man formalisiere die folgenden Aussagen und beweise sie: a) Für alle ungeraden ganzen Zahlen x ist 9x+ 5 gerade. b) Sei x eine gerade ganze
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Worum geht es, was sind zentrale Begriffe und Probleme? Wesentliche Aussagen des Textes zusammenfassen: Was wird über den Begriff/Gegenstand, um den es geht im Wesentlichen gesagt? Welche Probleme wer [...] tes Bezug? Welche Thesen werden aufgestellt Formales: Thesenpapier vorbereiten und an alle verteilen (enthält wesentliche Aussagen und Fragen zum Text und eine genaue Literaturangabe) Präsentation von
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welche natürlichen Zahlen n gilt die Aussage: Zu jedem x ∈ N gibt es ein y ∈ N mit x teilt n+ y ? Aufgabe 4 Man bestimme alle natürlichen Zahlen n, für die die Aussage a) ∃x ∈ N : n+ x ∈ 2N ⇒ n < 2x b) ∀x [...] - HeSe 23/24 Algebra I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 4 Aufgabe 1 Seien A,B Aussagenvariablen und sei ∗ ein „neuer“ Junktor, der folgendermaßen durch die bereits bekannten Junktoren definiert [...] ∨, ⇒, ⇔ allein mit Hilfe des Junktors ∗ aus. Aufgabe 2 Man gebe einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck an, der zu dem Ausdruck a) ((A ⇔ B) ∨ ¬B) ⇒ ((C ∧ (C ⇔ (C ∨ ¬B))) ⇒ (B ∧ A)) b) ((A
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den 10. November bis 10 Uhr Aufgabe 1 Seien A und B Aussagen. In der aussagenlogischen Formel ((A⇒ )⇒ )⇒ setze man in die Kästchen so die Aussagen A,B ein, dass zwei Tautologien und zwei Nicht- Tautologien [...] Tautologien entstehen. Aufgabe 2 Man formalisiere die folgenden Aussagen und beweise sie: a) Jede ungerade natürliche Zahl lässt sich als Differenz zweier aufeinanderfolgender Qua- dratzahlen darstellen. b) [...] ********* Auf Wunsch folgen nun zwei alte Klausuraufgaben: Aufgabe K1 Man formalisiere folgende Aussagen und beweise sie: (a) Es existieren drei Teilmengen A,B und C von N so, dass A ∩ B = A ∩ C ist, aber