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im Vergleich zur Kongruenzstruktur einfachen Strukturbegriff diskutiert und etabliert: Definition 0.1. Sei P eine Menge und G eine Menge von Teilmengen von P. Dann heißt (P,G) eine Inzidenzstruktur, wobei [...] sich die Elemente von G als Geraden. (P,G) ist somit die Inzidenzstruktur der Zeichenebene. Aufgabe 1 Sei P := {A,B,C,D} eine Menge von Punkten. Offenbar gilt |P| = 4. a) Man bestimme die Anzahl aller möglichen [...] und gebe deren Äquivalenzklassen an (mit Beweis). b) Man gebe zwei verschiedene Kongruenz-Relationen ≡1 und ≡2 auf P ×P an (mit Beweis). ******************************************************************
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der Menge M := {1, 2, 3, 4, 5} gegeben: ◦ 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 1 4 5 3 3 3 4 5 2 1 4 4 5 1 3 2 5 5 3 2 1 4 ∗ 1 2 3 4 5 1 4 3 1 5 2 2 3 5 2 1 4 3 1 2 3 4 5 4 5 1 4 2 3 5 2 4 5 3 1 Man beweise, dass [...] definiert: a ∗ b := a · b a+ b , für a 6= 0, b 6= 0, a+ b 6= 0 a+ b , sonst a) Man berechne 0 ∗ 0, 1 ∗ (−1), 0 ∗ 1 2 , (− 2 3) ∗ 3 4 b) Man zeige: ∃e ∈ Q ∀q ∈ Q : e ∗ q = q ∗ e = q c) Man zeige: ∀q ∈ Q ∃q′ ∈ [...] wird lediglich die Einerziffer notiert. Folgendes Beispiel soll dies illustrieren: 2 8 4 1 2 ⊕ 3 6 7 9 7 = 5 4 1 0 9 a) Man zeige: Die Verknüpfungsstruktur (N0,⊕) ist eine kommutative Gruppe. b) Man zeige:
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Grundmenge(probability) wird nun als Funktion P mit P : P(Ω)→ [0,1] , T 7→ P (T ) ∈ [0,1] mit zwei zentralen Eigenschaften definiert, nämlich • P (Ω) = 1, und • P ( ⋃ i∈I Ti) = ∑ i∈I P (Ti), für alle paarweisen [...] t genau dann, wenn für alle (Elementar-)Ergebnisse ω ∈ Ω bzw. Ereignisse {ω} ⊆ Ω gilt: • P ({ω}) = 1 |Ω| , wobei |Ω| die Anzahl der Elemente der Grund- oder Ergebnismenge, sprich die Anzahl der Elemen [...] Kontext zu, wobei - wenn nicht erwähnt - stets eine passende Grundmenge Ω angegeben werden soll. Aufgabe 1 Von zwei Urnen enthält die Urne I eine schwarze Kugel und zwei rote Kugeln, die Urne II zwei schwarze
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Europa-Universität Flensburg - FrSe 24 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 3 Aufgabe 1 Man beweise oder widerlege: a) Sei P eine Menge mit der Mächtigkeit 3. Sei Ga die Menge aller zweie [...] Punkt, der weder auf g noch auf h liegt. Aufgabe 3 Für diese Aufgabe machen wir folgende Vereinbarungen 1. (Vein) bedeutet die Eindeutigkeitsaussage des Axioms (V ) 2. (Vex) bedeutet die Existenzaussage des [...] Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Bemerkung: Offenbar ist das Paar ({A,B,C,D},Gb) (vgl. 1 b) und die Vorlesung am Montag) eine affine Ebe- ne, die wohl kleinste Ebene. Sei G2 := Gb. Hier der
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A = {(x, y) ∈ R2 | y = 2} • B = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 3 ∧ 3 ≤ y ≤ 4} • C = R× {2}. • D = [1, 3]× R • E = R× [3, 4] • F = {(x, y) ∈ R2 | x = 4} • G = [1, 3]× [3, 4] • H = {(x, y) ∈ R2 | 3 ≤ y ≤ 4} • I [...] x 7→ x2 − 3x + 2 weder injektiv noch surjektiv. Man bestimme jeweils Teilmengen T1, T2 von R so, dass f∗ ⊆ f mit f∗ : T1 → T2 (i) injektiv, aber nicht surjektiv ist. (ii) surjektiv, aber nicht injektiv [...] Europa-Universität Flensburg FeSe 2023 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 4 Aufgabe 1 Man fülle die u.a. Verknüpfungstabelle so aus, dass das Paar (S, ∗) mit der Menge S := {a, b, c, d}
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≤ 8 ist. Aufgabe 2 Zu einem Spiel gehören drei (ungewöhnliche) Würfel: Der erste trägt die Zahlen 1, 1, 5, 5, 5, 5, der zweite die Zahlen 2, 2, 2, 2, 6, 6 und der dritte die Zahlen 3, 3, 4, 4, 4, 4. Dann [...] Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 4 Abgabe der Bearbeitungen bis Freitag, den 13. Oktober bis 12 Uhr Aufgabe 1 Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei die Augensumme [...] Zwei Spieler werfen abwechselnd eine Münze. Der Werfer bekommt 2 Punkte, wenn Wap- pen erscheint, und 1 Punkt, wenn Zahl erscheint. Wenn ein Spieler mindestens 3 Punkte erreicht hat, wird das Spiel sofort
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Ungleichung mit (n− 1) die Behauptung |GA| ≤ n+ 1. 4. Es gilt ∑ A∈P |GA| = ∑ A∈P (n+ 1). Beweis. n2 · (n+ 1) = ?) |G| · n = ?) ∑ g∈G |g| = Satz ? ∑ A∈P |GA| ≤ ?. ∑ A∈P (n+ 1) = ?) n2 · (n+ 1), also gilt die [...] A gilt: P (A) = P, warum? Sei also A ein Punkt. Dann gilt: |P (A)| − 1 = ?. |GA| · (n− 1) = ?. (n+ 1) · (n− 1) = n2 − 1 = ?) |P| − 1. Abgabe der Bearbeitungen direkt in die Lücken dieses Blattes schreiben [...] Gleichung |P (A)| − 1 = |P (A) \ {A}| = ∑ g∈GA |g \ {A}| = |GA| · (n− 1). 3. Für alle Punkte A gilt: |GA| ≤ n+ 1. Beweis. Sei A ein Punkt, dann gilt |GA| · (n− 1) = 2. . . . ≤ |P| − 1 = i) . . . . Also folgt
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Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 5 Aufgabe 1 Man bestimme drei verschiedene bijektive Funktionen f, g, h mit f, g, h : [1, 3]→ [2, 6] . Hinweis: Für reelle a, b wird definiert: [a, b] [...] f, g, h auf Injektivität und Surjektivität (mit Be- weis) a) f1 : R2 → R2, (x, y) 7→ (3x− 2, 5y + 7) b) f : R \ {2} → R \ {5}, x 7→ 5x+1 x−2 c) Seien a, b ∈ R und g : R→ R, x 7→ ax+ b (Fallunterscheidung) [...] n| = 1. Aufgabe 5 a) Sei S = {a, b, c, d} eine 4-elementige Menge und sei T die 6-elementige Menge aller 2- elementigen Teilmengen von S. Man zeige: Es gibt eine injektive Funktion f : S → {0, 1, 2, 3
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Wiederholung Versuch 1 Versuch 4 nk ( n + k − 1 k ) ohne Wiederholung Versuch 2 Versuch 3 n · (n− 1) · (n− 2) · . . . · (n− (k − 1)) ( n k ) := n! k! · (n− k)! = n! (n− k)! Tabelle 1: Auswahl von k Elementen [...] benutzt werden. Aufgabe 1 Es sei (Ω, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}. Es gilt P ({ω1}) = P ({ω2}) und P ({ω3}) = P ({ω4}) = 2 · P ({ω1}). Man bestimme P ({ω1, ω3}). Aufgabe 2 a) Eine [...] kennengelernt, sie besagt: Sind T1, T2, . . . , Tn paarweise disjunkte Ereignisse eines Zufallsexperimentes, dann gilt |T1 ∪ T2 ∪ T3 ∪ . . . ∪ Tn| = |T1|+ |T2|+ . . . + |Tn| = n∑ i=1 |Ti|. Auch die Produktregel
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machen. Es gilt z.B. die Kongruenz P1P3 ≡ P2P3 (die anschaulich in unserer Visualisierung alles andere als kongruent sind), denn es gilt ja P1P3 = P2P3 und damit folgt ja P1P3 ‖ P2P3, also die zweite Bedingung [...] aus den beiden Sorten. Probieren Sie die Wirkungsweise der Definition, um P1P5 6≡ P6P9 einzusehen. Sei nun wie oben P := {P1, P2, . . . , P9} und G = Gblau ∪ Grot. Wir werden uns in der näch- sten Vorlesung [...] die Mittelparallele im Dreieck benutzt, also die Rückrichtung „ ⇐ “ des nachfolgenden Satzes. Aufgabe 1 Man zeige nun die noch fehlende Rückrichtung vom: Satz (Mittelparallelensatz ). Sei ABC ein echtes Dreieck
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