1. Arten von Schwerpunkten
2. Schwerpunkt-Axiome
3. Die Schwerpunkte des Dreiecks
4. Die Schwerpunkte des Vierecks

1.1. Arten von Schwerpunkten

Archimedes (287-212 v. Chr.) war ein genialer Mathematiker und Ingenieur. Er wirkte in Syrakus, einer griechischen Kolonistenstadt auf Sizilien. Mit seinem Tod verbindet sich die Sage, bei der Eroberung von Syrakus durch die Römer habe er den Soldat, der plündernd in seine Villa eindrang und ihn vor einer geometrischen Figur fand, mit den Worten Störe meine Kreise nicht aufzuhalten versucht – vergebens ...

In seinem Buch Über das Gleichgewicht ebener Flächen entwickelt Archimedes die Lehre von Hebeln und Schwerpunkten aus wenigen Grundsätzen. Wir wollen ihm nicht wörtlich, aber in der Idee folgen. Dazu stellen wir uns vor, geometrische Figuren seien schwer, also mit Masse belegt.

Wir lassen Punktmassen unterschiedlicher Maßzahl zu.

Die Masse einer jeden Strecke (der besseren Vorstellung wegen sagen wir oft Kante) soll stets proportional zur Streckenlänge sein, die Masse eines jeden Flächenstücks proportional zum Flächeninhalt. Damit können wir die Masse einer Strecke mit ihrer Länge und die Masse eines Flächenstücks mit seinem Flächeninhalt identifizieren.

Den Schwerpunkt eines Dreiecks kennen Sie als geometrischen Begriff. Physikalisch gesehen handelt es sich um den einzigen Punkt einer dreieckigen Platte, der unterstützt werden muss, um die Platte in Balance zu halten.

Eine Schwerlinie ist physikalisch gesehen eine Gerade, auf der die Platte ohne abzukippen horizontal ruhen kann. Hier ist also vom Flächenschwerpunkt (FS) die Rede (Zeichnung 1.1).

Zeichnung 1.1

Auch ein Dreieck, das nur aus einem Gerüst von drei "unendlich dünnen", aber schweren Kanten besteht, hat einen Schwerpunkt. Stellen Sie sich dazu das Dreieck durch eine masselose Platte ausgefüllt vor! Dann lässt sich das Dreieck in einem Punkt, dem Kantenschwerpunkt (KS), balancieren. Ein Schwerpunkt befindet sich also an einer Stelle, wo keine Masse ist (Zeichnung 1.2).

Zeichnung 1.2

Entsprechend gibt es beim Dreieck den Eckenschwerpunkt (ES) als Gleichgewichtspunkt von drei in den Eckpunkten konzentrierten gleich schweren Punktmassen (Zeichnung 1.3).

Zeichnung 1.3

Da es drei Arten von Schwerpunkten gibt, gibt es auch drei Arten von Schwerlinien. In der Sprechweise unterscheiden wir sie nicht.

1.2. Schwerpunkt-Axiome

Als Grundsätze (Axiome) über Massenverteilungen, Schwerpunkte und Schwerlinien setzen wir fest:

Zu diesen Grundsätzen einige Erläuterungen:

Axiom 2, Axiom 3, und Axiom 4 legen die Schwerpunkte für die einfachsten Massenverteilungen der Dimensionen 0, 1 und 2 fest.

Das Axiom 5 werden wir dazu verwenden, Schwerpunkte auf verschiedene Weise zu bestimmen und zwischen Schwerpunkten von Massenverteilungen verschiedener Dimensionen zu vermitteln.

Axiom 6 ist das bekannte Archimedische Hebelgesetz (Zeichnung 1.4). Es besagt insbesondere, dass der Schwerpunkt zweier gleich schwerer Punktmassen der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke ist.

Zeichnung 1.4

Mit Hilfe von Grenzwertüberlegungen könnte man aus Axiom 2 und Axiom 6 das Axiom 3 und das Axiom 4 herleiten. So ging Archimedes beim Flächenschwerpunkt vor; wir folgen ihm nicht, weil Grenzwertüberlegungen auch ihre Komplikationen haben.

Axiom 7 hat die anschauliche Bedeutung, dass eine Gerade, auf der sich eine Figur balancieren lässt, auch den einzigen Gleichgewichtspunkt enthalten muss, und dass sich umgekehrt die Figur auf jeder Gerade durch diesen Punkt balancieren lässt. Das Axiom ist nützlich, weil sich danach der (nach Axiom 1 eindeutig bestimmte) Schwerpunkt als Schnittpunkt von zwei Schwerlinien bestimmen lässt.

Aufgabe: Eckenschwerpunkt zweier Punktmassen

1.3. Die Schwerpunkte des Dreiecks

In den folgenden drei Abschnitten werden der Eckenschwerpunkt (Abschnitt 1.3.1), der Kantenschwerpunkt (Abschnitt 1.3.2) und der Flächenschwerpunkt (Abschnitt 1.3.3) des Dreiecks besprochen.

1.3.1. Der Eckenschwerpunkt

Der Eckenschwerpunkt ist der Gleichgewichtspunkt dreier gleich schwerer Punktmassen m_A, m_B und m_C (Figur 1.1).

Nach Axiom 6 ist der Mittelpunkt C' der Seite AB der Schwerpunkt von m_A und m_B. Wieder nach Axiom 6 ist der Schwerpunkt des einerseits aus m_A und m_B und andererseits aus m_C bestehenden Massensystems der 2:1-Teilpunkt der Strecke CC'.

Dieselbe Überlegung mit B' statt C' zeigt, dass auch der 2:1-Teilpunkt der Strecke BB' ein Schwerpunkt ist - und wir dürfen hier wegen Axiom 1 der Schwerpunkt sagen.

Ebenso schließt man für AA'. Die Verbindungsstrecken AA', BB' und CC' sind die bekannten Schwerlinien des Dreiecks, auch Mittellinien genannt. Wir haben damit ein bekanntes Ergebnis:

Figur 1.1

Aufgabe: Eckenschwerpunkt im Dreieck

1.3.2. Der Kantenschwerpunkt

Um den Kantenschwerpunkt zu finden, denken wir uns das Dreieck in ein Kantenpaar a, b und eine einzelne Kante c zerlegt. Nach Axiom Axiom 5 und Axiom 3 dürfen wir die Kantenmassen a und b durch entsprechende Punktmassen in den Streckenmitten A' und B' ersetzen.

Nach Axiom 6 und Axiom 5 ersetzen wir diese Punktmassen durch eine Masse a + b im Punkt C", der A'B' von B' aus gesehen im Verhältnis a:b teilt. Der Schwerpunkt der Strecke c ist ihr Mittelpunkt C'. Daher ist C'C" eine Schwerlinie des Kantendreiecks (Figur 1.2).

Figur 1.2

Als Ecktransversale des Seitenmittendreiecks A'B'C' aufgefasst, teilt sie A'B' im Verhältnis der anliegenden Seiten, denn es gilt |B'C'| = ^a/₂ und |C'A'| = ^b/₂. Nach einem bekannten Satz ist die Schwerlinie also Winkelhalbierende im Dreieck A'B'C'. Genauso können wir mit den zwei anderen Zerlegungen argumentieren.

Der Kantenschwerpunkt des Dreiecks liegt also auf allen drei Winkelhalbierenden des Mittendreiecks. Damit ergibt sich:

1.3.3. Der Flächenschwerpunkt

Den Flächenschwerpunkt des Dreiecks brauchen wir nicht zu berechnen – Axiom 4 liefert ihn direkt. Er fällt mit dem Eckenschwerpunkt zusammen, also mit dem Punkt, der in der Geometrie einfach Schwerpunkt des Dreiecks heißt.

Wie wir jetzt wissen, ist diese Benennung oberflächlich, weil die Art der Massenverteilung offen bleibt.

1.4. Die Schwerpunkte des Vierecks

In den folgenden drei Abschnitten werden der Eckenschwerpunkt (Abschnitt 1.4.1), der Kantenschwerpunkt (Abschnitt 1.4.2) und der Flächenschwerpunkt (Abschnitt 1.4.3) des Vierecks besprochen.

1.4.1. Der Eckenschwerpunkt

Die Schwerpunkte des Vierecks werden nach denselben Prinzipien wie beim Dreieck konstruiert. Wir berufen uns nun nicht mehr im einzelnen auf die Axiome.

Beweis:
Die Punktmassen in den Ecken A und B werden durch eine doppelt so große Masse im Mittelpunkt M_AB der Seite AB ersetzt, ebenso die Punktmassen in C und D durch die doppelte Punktmasse im Mittelpunkt M_CD. Daher ist die Mittellinie M_ABM_CD eine Schwerlinie. Ebenso ist auch die andere Mittellinie eine Schwerlinie. Der Schnittpunkt der Mittellinien ist der Schwerpunkt (Figur 1.3). ¨

Figur 1.3

1.4.2. Der Kantenschwerpunkt

Der Kantenschwerpunkt ist etwas mühsam zu konstruieren, und er ist auch kein geometrisch bemerkenswerter Punkt des Vierecks. Wir beschreiben einen Weg, bei dem die Teilung einer Dreiecksseite durch die Winkelhalbierende (vgl. Beweis von Satz 1.3.2) ausgenutzt wird.

Die Kantenmassen werden als Punktmassen mit den Seitenlängen entsprechenden Maßzahlen in den Seitenmitten konzentriert (Figur 1.4). Der Schwerpunkt der Punktmassen in P und Q teilt, von P aus gesehen, die Strecke PQ im Verhältnis b:a. (Die kürzere Teilstrecke gehört zur größeren Masse.)

Der Schnittpunkt B' der Winkelhalbierenden w_B mit PQ teilt die Strecke im Verhältnis a:b. Der Schwerpunkt B" der Kanten AB und BC ist also das Punktspiegelbild von B' am Mittelpunkt von PQ. Entsprechend wird D" konstruiert, und mit B"D" ist eine Schwerlinie gefunden. Ihr Schnittpunkt mit der anderen Schwerlinie C"A" ist der Kantenschwerpunkt (Figur 1.4).

Figur 1.4

1.4.3. Der Flächenschwerpunkt

Die folgenden beiden Abschnitte beschreiben Konstruktionen des Flächenschwerpunkts beim Viereck.

1.4.3.1. Direkte Konstruktion

Für den Flächenschwerpunkt gibt es eine schlichte Konstruktion:

Man teilt das Viereck durch die erste Diagonale und verbindet die Schwerpunkte der Teildreiecke; dasselbe führt man mit der zweiten Diagonalen aus. Die Verbindungsstrecken der Teil-Schwerpunkte schneiden sich im Flächenschwerpunkt (Figur 1.5). Offenbar braucht man dazu viele Hilfslinien (in der Figur 1.5 ausgeblendet).

Figur 1.5

1.4.3.2. Das Wittenbauer-Parallelogramm

Der Geometer Wittenbauer (1857-1922) hat sich eine sehr elegante Konstruktion ausgedacht, um den Flächenschwerpunkt eines Vierecks zu bestimmen. Die Seiten werden gedrittelt und die Teilpunkte in der in Figur 1.6 gezeigten Art verbunden. Wegen der Parallelität zu den Diagonalen entsteht ein Parallelogramm, das Wittenbauer-Parallelogramm.

Figur 1.6

Beweis:
Das Viereck ABCD wird durch durch die Diagonale BD zerlegt. Auf den Seiten werden die Drittelpunkte P', P", ... S', S" eingetragen. Der Schwerpunkt des Teildreiecks ABD ist der Mittelpunkt der Strecke P"S', und der Schwerpunkt des Teildreiecks BCD ist der Mittelpunkt der Strecke Q'R".
Daher ist die Verbindungsstrecke dieser Mittelpunkte eine Schwerlinie. Sie ist außerdem Mittellinie des Parallelogramms P"Q'R"S', also auch Mittellinie des Wittenbauer-Parallelogramms P*Q*R*S*. Die Zerlegung durch die andere Diagonale zeigt, dass die zweite Mittellinie des Wittenbauer-Parallelogramms ebenfalls eine Schwerlinie ist (Figur 1.7).
Der Flächenschwerpunkt ist dann der Schnittpunkt der Mittellinien und damit auch der noch einfacher zu konstruierende Diagonalenschnittpunkt des Wittenbauer-Parallelogramms (in der Figur 1.7 nicht enthalten). ¨

Figur 1.7

Bei nicht-konvexen Vierecken zerlegt nur eine Diagonale. Die oben genannte einfache Konstruktion muss dann ein wenig überdacht werden. Wittenbauers Konstruktion bleibt zwar unverändert, aber es bedarf einer zusätzlichen Überlegung.