Besondere Punkte im Dreieck

Trilineare Koordinaten

Die aktuellen trilinearen Koordinaten (a₁, b₁, g₁) eines Punktes P im Dreieck ABC lauten:

a₁ = Abstand P von BC
b₁ = Abstand P von AC
g₁ = Abstand P von AB

Ein Tripel in der Schreibweise a : b : g enthält die (erstmals von A. F. Möbius 1827 eingeführten) homogenen trilinearen Koordinaten von P, wenn

a₁ = ka, 
b₁ = kb, 
g₁ = kg

für ein k ¹ 0.

Zwischen homogenen und aktuellen Koordinaten besteht folgender Zusammenhang:

Für P = a : b : g sind ka, kb, kg die aktuellen trilinearen Koordinaten von P, wenn k = 2d / (aa + bb + cg), wobei d den Flächeninhalt von DABC bezeichnet.

Zu allen bekannten besonderen Punkten im Dreieck können die trilinearen Koordinaten bestimmt werden. Mit Hilfe der Prüfformeln z. B. für Inzidenz, Kollinearität, Parallelität und Orthogonalität lassen sich (systematisch) Zusammenhänge zwischen besonderen Punkten im Dreieck auffinden, die ohne die Verwendung von trilinearen Koordinaten nur schwer zu entdecken sind. Eine Aussage, die auf Berechnungen mit trilinearen Koordinaten beruht, gilt für alle Dreiecke beliebiger Form und Lage.

Vgl. Kimberling 1998