Als Koch-Kurve wird – nach dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch (1870-1924) – die Grenzkurve eines Streckenzugs bezeichnet, die wie folgt entsteht:
Eine durch zwei Endpunkte festgelegte Strecke wird gedrittelt. Anschließend wird der mittlere Streckenabschnitt durch zwei Schenkel eines gleichseitigen Dreiecks ersetzt. Die Kurve besteht jetzt aus vier kongruenten Teilstrecken, auf die jeweils das Verfahren erneut angewendet wird, usw. ad infinitum!
Variieren Sie in der Figur die Streckenendpunkte A und B sowie die Iterationsstufen.
Die Koch-Kurve hat einige bemerkenswerte Eigenschaften: Sie besitzt in keinem ihrer Punkte eine Tangente, und ihre Länge ist divergent (¥ – Warum?). Macht man daher den gezeigten Grenzprozess mit den Seiten eines Dreiecks, so entsteht eine "unendlich lange" geschlossene Kurve, die ein Gebiet endlichen Flächeninhalts umschließt. Paradox!?
Ist das Dreieck gleichseitig, so entsteht dabei die berühmte Kochsche Schneeflocke (in der Abb. eingefärbt):
Zu weiteren Eigenschaften, vor allem der sog. Selbstähnlichkeit, vgl. Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D.: Bausteine des Chaos. Springer-Verlag; Klett Cotta: Berlin; Heidelberg; New York; Stuttgart 1991
