Figuren

Satz von Holditch

Gegeben sei eine Eilinie, d. h. eine geschlossene konvexe Kurve K, in deren Innerem eine Stange s so bewegt werden kann, dass ihre beiden Endpunkte O und S die Kurve K berühren. Ist s genügend klein, so ist durch s und K ein geschlossener Bewegungsvorgang erklärt, bei dem die beiden Stangenendpunkte die Eilinie jeweils einmal durchlaufen.

Bewegt man den Endpunkt O entlang der Eilinie, so verschiebt sich die Stange s entsprechend mit. Die Länge der Stange kann durch Verlängern oder Verkürzen der Strecke O'S' im oberen Teil der Zeichenfläche variiert werden. Die Bahnkurve (Ortslinie) des Punkts X auf der Stange s, mit OX = x und XS = y, bildet eine geschlossene Kurve.

Im Lernbaustein kann die Bahn von X durch das Aufzeichnen der Ortsspur interaktiv generiert werden.

Überraschenderweise ist der Flächeninhalt F des Ringgebiets zwischen der Ortslinie von X und der Kurve K unabhängig von der Form und Größe der Eilinie. Der Satz von Holditch besagt:

F = pxy

Der Flächeninhalt des Ringgebiets hängt also lediglich von den Entfernungen x und y des Punkts X von den Stangenenden ab.

Einen Beweis findet man in Blaschke & Müller: Ebene Kinematik, Oldenbourg: München 1956, S. 120.